Что значит ось симметрии. Симметрия фигур в пространстве. Анализ полученных данных

Класс: 1

Цель урока: создать условия для формирования представления обучающихся о фигурах, имеющих одну или несколько осей симметрии.

Задачи урока:

• научиться проверять практическим путем, имеет ли данная фигура ось симметрии,
• отработка вычислительных навыков,
• развитие логического мышления,
• формирование у учащихся навыки контроля и самоконтроля.

Ход урока

1. Организационный момент.

Прозвенел звонок, урок начинается. Я улыбнусь вам, и вы улыбнитесь друг другу и подумайте, как хорошо, что, что мы сегодня все вместе. Мы спокойны, добры, приветливы, ласковы. Мы все здоровы. Забудьте об обидах. Вдохните в себя свежесть весеннего утра, тепло солнечных лучей, чистоту рек. Я желаю вам хорошего настроения и бережного отношения друг к другу.

2. Разминка ума.

1) Математический диктант.

Сумма чисел 10 и 8.
Разность чисел16 и 7.
10 разделить на 2.
5 увеличить на 6.
20 уменьшить на 8.
По 2 взять 4 раза.

Самопроверка. На доске ответы: 18, 9, 5, 11, 12, 8.

2) Решить примеры

(6+8) – 4; (12-7) +6; (5 ? 2) +8;
(6+8) – 10; (12 –6) +7; (6:3) ? 4.

3) Сейчас поиграем в игру “Только одно свойство”.

Цель: закрепить знание свойств геометрических фигур, развивать логическое мышление.

У каждого учащегося на парте набор геометрических фигур. Это 16 маленьких и 16 больших геометрических фигур (круг, квадрат, треугольник, прямоугольник) четырех видов и четырех цветов.

Игра строится по типу домино. У доски 2 ученика. Один кладет на стол любую фигуру, второй должен положить фигуру, отличающуюся от нее только одним признаком. В случае неправильного хода, у игрока забирают фигуру. Проигрывает тот, кто останется без фигур.

4) Повторение о плоскостных и объемных фигурах.

Круг, квадрат, прямоугольник, треугольник. Какие это геометрические фигуры? (плоскостные)

Назовите объемные фигуры. Какие фигуры называются объемными?

(Куб, конус, и т.д.) Назовите предметы, имеющие такую же форму.

3. Сообщение темы урока.

Сегодня научимся проверять практическим путем, имеет ли данная фигура ось симметрии, дорисовывать симметричную часть данной фигуры.

4. Работа над темой урока.

1) Практическая работа 1

Возьмите лист бумаги и перегните его пополам. Хорошо разгладьте линию сгиба и отметьте на линии сгиба две точки. Не раскрывая листа бумаги, вырежьте какой-либо узор так, чтобы не перерезать линию сгиба на отрезке, ограниченном этими точками. Расправьте лист бумаги. Какую фигуру вы получили? Вы видите, что фигуры, расположенные по разные стороны от линии сгиба, совершенно одинаковы – они совпадут, если лист снова перегнуть около этой линии. Укажите ось симметрии.

Рассмотрите предметы или их части, находящиеся в классе. Укажите, какие из них имеют одну (или несколько) ось симметрии.

2) Практическая работа 2.

а) Докажи, сгибая рисунки по осям, что красный треугольник имеет одну ось симметрии, а желтый четырехугольник – две.

(Перегибая фигуру по той или иной оси, ученик увидит, что части этой фигуры совместились.)

б) Сколько осей симметрии имеет квадрат? Перегните его сначала по одной диагонали, потом еще по одной, затем по линиям, проходящим через середины противоположных сторон.

(Учащиеся убеждаются, что квадрат имеет 4 оси симметрии)

в) Сколько осей симметрии имеет пятиугольник?

(Имеет 5 осей симметрии. Каждая из них проходит через его вершину и середину противолежащей стороны.

г) Сколько осей симметрии имеет круг? Перегни его по какой-нибудь из осей.

д) работа в тетради №4 с.55. Является ли прямая на рисунке осью симметрии прямоугольника?

3) Демонстрация рисунков на больших ватманах бумаги.

а) Сколько осей симметрии имеет звезда? (5 осей симметрии)

б) Назовите времена года. Давайте закроем глаза и представим, что мы идем по осеннему лесу, а под ногами разноцветный ковер. Глядите – красный фонарик, поднимаете – это листок уронила осинка; а у пруда милая ивушка рассыпала золотистые рыбки – листочки – узкие, длинные, тонкие; дальше – желтая звездочка – подарил ее клен. Давайте поднимем листочек клена.

(Показ осеннего листа клена)

Говорят, что кленовый лист симметричен – имеет единственную ось симметрии. Если его перегнуть по этой оси, то обе части листа совпадут.(Показ)

Назовите еще растения, листья которых имеют ось симметрии.

в) А теперь побываем в зимнем лесу. Зима…Кругом белым-бело. Вот подул ветер, и с неба посыпались снежинки. Кружатся в воздухе и падают на землю – одна красивее другой! Вот цветок с шестью лепестками, вот звездочка с шестью лучами, вот тончайшая пластинка с шестью гранями! Беззвучно летят они в тихом воздухе над землей и падают вниз. Снежинки плывут, покачиваются, отыскивая себе дорогу на землю, так как им мешает невидимый воздух. Хорошо прогуляться зимним днем в лесу!

Посмотрите на эту снежинку.

Сколько осей симметрии имеет снежинка на рисунке?

4) Физкультминутка

5) Решение задачи

а) Загадка.

Я раскрываю почки, в зеленые листочки.
Деревья одеваю, посевы поливаю,
Движения полна,
Зовут меня …(весна)

Сейчас время года весна. Назовите, какой сейчас месяц.

Весной не только любуются пробуждающейся природой, в это время люди стараются посадить как можно больше растений, кустарников и деревьев.

Что и решили сделать волк и заяц.

б)Прочитаем и решим задачу №9 с.101.

Волк и заяц посадили 8 кустов малины, 5 кустов крыжовника и смородину. Смородины – на 1 куст меньше, чем малины. Сколько всего кустов посадили?

Решение записывают в тетрадь.

6) Дописывание пропущенных чисел

Волк записал разные числа, а заяц записал под ними свой ряд чисел, располагая числа по закономерности. Дополнить ряд зайца.

Волк: 4 10 7 8 5 9.
Заяц: 1 7 4.

7) Работа по учебнику

Имеют ли ось симметрии изображенные на рисунке предметы?

8) Работа в тетради №1 ,№2 с.54

Работа с зеркалом.

Назовите еще буквы русского алфавита, изображения которых имеют оси симметрии.

5. Итог урока.

Чем занимались на уроке?

Как проверить имеет ли данная фигура ось симметрии?

Две фигуры называются симметричными относительно какой-либо точки О пространства, если каждой точке А одной фигуры соответствует в другой фигуре точка А’, расположенная на прямой ОА по другую сторону от точки О, на расстоянии, равном расстоянию точки А от точки О (черт. 114). Точка О называется центром симметрии фигур.

Пример таких симметричных фигур в пространстве мы уже встречали (§ 53), когда, продолжая за вершину рёбра и грани многогранного угла, получали многогранный угол, симметричный данному. Соответственные отрезки и углы, входящие в состав двух симметричных фигур, равны между собой. Тем не менее фигуры в целом не могут быть названы равными: их нельзя совместить одну с другой вследствие того, что порядок расположения частей в одной фигуре иной, чем в другой, как это мы видели на примере симметричных многогранных углов.

В отдельных случаях симметричные фигуры могут совмещаться, но при этом будут совпадать несоответственные их части. Например, возьмём прямой трёхгранный угол (черт. 115) с вершиной в точке О и рёбрами ОХ, OY, OZ.

Построим ему симметричный угол ОХ’Y’Z’. Угол OXYZ можно совместить с OX’Y’Z’ так, чтобы ребро ОХ совпало с OY’, а ребро OY c OX’. Если же совместить соответственные рёбра ОХ с ОХ’ и OY с OY’, то рёбра OZ и OZ’ окажутся направленными в противоположные стороны.

Если симметричные фигуры составляют в совокупности одно геометрическое тело, то говорят, что это геометрическое тело имеет центр симметрии. Таким образом, если данное тело имеет центр симметрии, то всякой точке, принадлежащей этому телу, соответствует симметричная точка, тоже принадлежащая данному телу. Из рассмотренных нами геометрических тел центр симметрии имеют, например:

1. параллелепипед,
2. призма, имеющая в основании правильный многоугольник с чётным числом сторон.

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

Симметрия относительно плоскости

Две пространственные фигуры называются симметричными относительно плоскости Р, если каждой точке А в одной фигуре соответствует в другой точка А’, причём отрезок АА’ перпендикулярен к плоскости Р и в точке пересечения с этой плоскостью делится пополам.

Теорема. Всякие два соответственных отрезка в двух симметричных фигурах равны между собой.

Пусть даны две фигуры, симметричные относительно плоскости Р. Выделим две какие-нибудь точки А и В первой фигуры, пусть А’ и В’ - соответствующие им точки второй фигуры (черт. 116, на чертеже фигуры не изображены).

Пусть далее С - точка пересечения отрезка АА’ с плоскостью Р, D - точка пересечения отрезка ВВ’ с той же плоскостью. Соединив прямолинейным отрезком точки С и D, получим два четырёхугольника ABDC и A’B’DC. Так как AС = A’С, BD = B’D и

∠ACD = ∠ACD, ∠BDC = ∠В’DC, как прямые углы, то эти четырёхугольники равны (в чём легко убеждаемся наложением). Следовательно, АВ = А’В’. Из этой теоремы непосредственно вытекает, что соответствующие плоские и двугранные углы двух фигур, симметричных относительно плоскости, равны между собой. Тем не менее совместить эти две фигуры одну с другой так, чтобы совместились их соответственные части, невозможно, так как порядок расположения частей в одной фигуре обратный тому, котoрый имеет место в другой. Простейшим примером двух фигур, симметричных относительно плоскости, являются: любой предмет и его отражение в плоском зеркале; всякая фигура, симметрична со своим зеркальным отражением относительно плоскости зеркала.

Если какое-либо геометрическое тело можно разбить на две части, симметричные относительно некоторой плоскости, то эта плоскость называется плоскостью симметрии данного тела.

Геометрические тела, имеющие плоскость симметрии, чрезвычайно распространены в природе и в обыденной жизни. Тело человека и животного имеет плоскость симметрии, разделяющую его на правую и левую части.

На этом примере особенно ясно видно, что симметричные фигуры нельзя совместить. Так, кисти правой и левой рук симметричны, но совместить их нельзя, что можно видеть хотя бы из того, что одна и та же перчатка не может подходить и к правой и к левой руке. Большое число предметов домашнего обихода имеет плоскость симметрии: стул, обеденный стол, книжный шкаф, диван и др. Некоторые, как например обеденный стол, имеют даже не одну, а две плоскости симметрии (черт. 117).

Обычно, рассматривая предмет, имеющий плоскость симметрии, мы стремимся занять по отношению к нему такое положение, чтобы плоскость симметрии нашего тела, или по крайней мере нашей головы, совпала с плоскостью симметрии самого предмета. В этом случае симметричная форма предмета становится особенно заметной.

Симметрия относительно оси. Ось симметрии второго порядка.

Две фигуры называются симметричными относительно оси l (ось-прямая линия), если каждой точке А первой фигуры соответствует точка А’ второй фигуры, так что отрезок АА’ перпендикулярен к оси l, пересекается с нею и в точке пересечения делится пополам. Сама ось l называется осью симметрии второго порядка.

Из этого определения непосредственно следует, что если два геометрических тела, симметричных относительно какой-либо оси, пересечь плоскостью, перпендикулярной к этой оси, то в сечении получатся две плоские фигуры, симметричные относительно точки пересечения плоскости с осью симметрии тел.

Отсюда далее легко вывести, что два тела, симметричных относительно оси, можно совместить одно с другим, вращая одно из них на 180° вокруг оси симметрии. В самом деле, вообразим все возможные плоскости, перпендикулярные к оси симметрии.

Каждая такая плоскость, пересекающая оба тела, содержит фигуры, симметричные относительно точки встречи плоскости с осью симметрии тел. Если заставить скользить секущую плоскость саму по себе, вращая её вокруг оси симметрии тела на 180°, то первая фигура совпадает со второй.

Это справедливо для любой секущей плоскости. Вращение же всех сечений тела на 180° равносильно повороту всего тела на 180° вокруг оси симметрии. Отсюда и вытекает справедливость нашего утверждения.

Если после вращения пространственной фигуры вокруг некоторой прямой на 180° она совпадает сама с собой, то говорят, что фигура имеет эту прямую своею осью симметрии второго порядка.

Название "ось симметрии второго порядка " объясняется тем, что при полном обороте вокруг этой оси тело будет в процессе вращения дважды принимать положение, совпадающее с исходным (считая и исходное). Примерами геометрических тел, имеющих ось симметрии второго порядка, могут служить:

1) правильная пирамида с чётным числом боковых граней; осью её симметрии служит её высота;

2) прямоугольный параллелепипед; он имеет три оси симметрии: прямые, соединяющие центры его противоположных граней;

3) правильная призма с чётным числом боковых граней. Осью её симметрии служит каждая прямая, соединяющая центры любой пары её противоположных граней (боковых граней и двух оснований призмы). Если число боковых граней призмы 2k , то число таких осей симметрии будет k + 1. Кроме того, осью симметрии для такой призмы служит каждая прямая, соединяющая середины её противоположных боковых рёбер. Таких осей симметрии призма имеет А.

Таким образом, правильная 2k -гранная призма имеет 2k +1 осей, симметрии.

Зависимость между различными видами симметрии в пространстве.

Между различными видами симметрии в пространстве - осевой, плоскостной и центральной - существует зависимость, выражаемая следующей теоремой.

Теорема. Если фигура F симметрична с фигурой F’ относительно плоскости Р и в то же время симметрична с фигурой F" относительно точки О, лежащей в плоскости Р, то фигуры F’ и F" симметричны относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости Р.

Возьмём какую-нибудь точку А фигуры F (черт. 118). Ей соответствует точка А’ фигуры F’ и точка А" фигуры F" (сами фигуры F, F’ и F" на чертеже не изображены).

Пусть B - точка пересечения отрезка АА’ с плоскостью Р. Проведeм плоскость через точки А, А’ и О. Эта плоскость будет перпендикулярна к плоскости Р, так как проходит через прямую АА’, перпендикулярную к этой плоскости. В плоскости АА’О проведём прямую ОН, перпендикулярную к ОВ. Эта прямая ОН будет перпендикулярна и к плоскости Р. Пусть далее С-точка пересечения прямых А’А" и ОН.

B треугольнике АА’А" отрезок ВО соединяет середины сторон АА’ и АА", следовательно, ВО || А’А", но ВО⊥ОН, значит, А’А"⊥ОН. Далее, так как О - середина стороны АA", и СО || АА’, то А’С = А"С. Отсюда заключаем, что точки А’ и А" симметричны относительно оси ОН. То же самое справедливо и для всех других точек фигуры. Значит, наша теорема доказана. Из этой теоремы непосредственно следует, что две фигуры, симметричные относительно плоскости, не могут быть совмещены так, чтобы совместились их соответственные части. В самом деле, фигура F’ совмещается с F" путём вращения вокруг оси ОН на 180°. Но фигуры F" и F не могут быть совмещены как симметричные относительно точки, следовательно, фигуры F и F’ также не могут быть совмещены.

Оси симметрии высших порядков

Фигура, имеющая ось симметрии, совмещается сама с собой после поворота вокруг оси симметрии на угол в 180°. Но возможны случаи, когда фигура приходит к совмещению с исходным положением после поворота вокруг некоторой оси на угол, меньший 180°. Таким образом, если тело сделает полный оборот вокруг этой оси, то в процессе вращения оно несколько раз совместится со своим первоначальным положением. Такая ось вращения называется осью симметрии высшего порядка, причём число положений тела, совпадающих с первоначальным, называется порядком оси симметрии. Эта ось может и не совпадать с осью симметрии второго порядка. Так, правильная треугольная пирамида не имеет оси симметрии второго порядка, но её высота служит для неё осью симметрии третьего порядка. В самом деле, после поворота этой пирамиды вокруг высоты на угол в 120° она совмещается сама с собой (черт. 119).

При вращении пирамиды вокруг высоты она может занимать три положения, совпадающие с исходным, считая и исходное. Легко заметить, что всякая ось симметрии чётного порядка есть в то же время ось симметрии второго порядка.

Примеры осей симметрии высших порядков:

1) Правильная n -угольная пирамида имеет ось симметрии n -го порядка. Этой осью служит высота пирамиды.

2) Правильная n -угольная призма имеет ось симметрии n -го порядка. Этой осью служит прямая, соединяющая центры оснований призмы.

Симметрия куба.

Как и для всякого параллелепипеда, точка пересечения диагоналей куба есть центр его симметрии.

Куб имеет девять плоскостей симметрии: шесть диагональных плоскостей и три плоскости, проходящие через середины каждой четвёрки его параллельных рёбер.

Куб имеет девять осей симметрии второго порядка: шесть прямых, соединяющих середины его противоположных рёбер, и три прямые, соединяющие центры противоположных граней (черт. 120).

Эти последние прямые являются осями симметрии четвёртого порядка. Кроме того, куб имеет четыре оси симметрии третьего порядка, которые являются его диагоналями. В самом деле, диагональ куба АG (черт. 120), очевидно, одинаково наклонена к рeбрам АВ, АD и АЕ, а эти рёбра одинаково наклонены одно к другому. Ecли соединить точки В, D и Е, то получим правильную треугольную пирамиду АDВЕ, для которой диагональ куба AG служит высотой. Когда при вращении вокруг высоты эта пирамида будет совмещаться сама с собой, весь куб будет совмещаться со своим исходным положением. Других осей симметрии, как нетрудно убедиться, куб не имеет. Посмотрим, сколькими различными способами куб может быть совмещён сам с собой. Вращение вокруг обыкновенной оси симметрии даёт одно положение куба, отличное от исходного, при котором куб в целом совмещается сам с собой.

Вращение вокруг оси третьего порядка даёт два таких положения, и вращение вокруг оси четвёртого порядка - три таких положения. Так как куб имеет шесть осей второго порядка (это обыкновенные оси симметрии), четыре оси третьего порядка и три оси четвёртого порядка, то имеются 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 положения куба, отличные от исходного, при которых он совмещается сам с собой.

Легко убедиться непосредственно, что все эти положения отличны одно от другого, а также и от исходного положения куба. Вместе с исходным положением они составляют 24 способа совмещения куба с самим собой.

Другие материалы

«Симметрия » в переводе с греческого означает «соразмерность» (повторяемость). Симметричные тела и предметы состоят из равнозначных, правильно повторяющихся в пространстве частей. Особенно разнообразна симметрия кристаллов. Различные кристаллы отличаются большей или меньшей симметричностью. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

По более точному определению симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости). Подавляющее большинство кристаллов обладает симметрией.

Понятие симметрии включает в себя составные части – элементы симметрии. Сюда относятся плоскость симметрии , ось симметрии , центр симметрии , или центр инверсии .

Плоскость симметрии делит кристалл на две зеркально равные части. Обозначается она буквой Р. Части, на которые плоскость симметрии рассекает многогранник, относятся одна к другой, как предмет к своему изображению в зеркале разные кристаллы имеют различное количество плоскостей симметрии, которое ставится перед буквой Р. Наибольшее количество таких плоскостей у природных кристаллов – девять 9Р. В кристалле серы насчитывается 3Р, а у гипса только одна. Значит, в одном кристалле может быть несколько плоскостей симметрии. В некоторых кристаллах плоскость симметрии отсутствует.

Относительно элементов ограничения плоскость симметрии может занимать следующее положение:

1. проходит через ребра;
2. лежать перпендикулярно к ребрам в их серединах;
3. проходить через грань перпендикулярно к ней;
4. пересекать гранные углы в их вершинах.

В кристаллах возможны следующие количества плоскостей симметрии: 9Р, 7Р, 6Р, 5Р, 4Р, 3Р, 2Р, Р, отсутствие плоскости симметрии.

Ось симметрии

Ось симметрии – воображаемая ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура совмещается сама с собой в пространстве. Она обозначается буквой L. У кристаллов при вращении вокруг оси симметрии на полный оборот одинаковые элементы ограничения (грани, ребра, углы) могут повторяться только 2, 3, 4, 6 раз. Соответственно этому оси будут называться осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядка и обозначаться: L2, L3, L4 и L6.Порядок оси определяется числом совмещений при повороте на 360⁰С.

Ось симметрии первого порядка не принимается во внимание, так как ею обладают вообще не фигуры, в том числе и несимметричные. Количество осей одного и того же порядка пишут перед буквой L: 6L6, 3L4 и т.п.

Центр симметрии

Центр симметрии – это точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие одинаковые элементы ограничения кристалла (грани, ребра, углы). Обозначается она буквой С. Практически присутствие центра симметрии будет сказываться в том, что каждое ребро многогранника имеет параллельное себе ребро, каждая грань – такую же параллельную себе зеркально-обратную грань. Если же в многограннике присутствуют грани, не имеющие себе параллельных, то такой многогранник не обладает центром симметрии.

Достаточно поставить многогранник гранью на стол, чтобы заметить, имеется ли сверху такая же параллельная ей зеркально-обратная грань. Конечно, на параллельность нужно проверить все типы граней.

Существует ряд простых закономерностей, по которым сочетаются друг с другом элементы симметрии. Значение этих правил облегчает их нахождение.

1. Линия пересечения двух или нескольких плоскостей является осью симметрии. Порядок такой оси равен числу пересекающихся в ней плоскостей.
2. L6 может присутствовать в кристалле только в единственном числе.
3. С L6 не могут комбинироваться ни L4, ни L3, но может сочетаться L2 причем L6 и L2 должны быть перпендикулярны; в таком случае присутствует 6L2.
4. L4 может встречаться в единственном числе или трех взаимно перпендикулярных осей.
5. L3 может встречаться в единственном числе или с 4L3.

Степенью симметрии называется совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный кристалл.

Кристалл, имеющий форму куба, обладает высокой степенью симметрии. В нем присутствуют три оси симметрии четвертого порядка (3L4), проходящие через середины граней куба, четыре оси симметрии третьего порядка (4L3), проходящие через вершины трехгранных углов, и шесть осей второго порядка (6L2), проходящих через середины ребер. В точке пересечения осей симметрии располагается центр симметрии куба (С). Кроме того, в кубе можно провести девять плоскостей симметрии (9Р). Элементы симметрии кристалла можно изобразить кристаллографической формулой.

Для куба формула имеет вид: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Русский ученый А.В. Гадолин в 1869 г. показал, что у кристаллов возможны 32 различных сочетания элементов симметрии, составляющих классы (виды) симметрии. Таким образом, класс объединяет группу кристаллов с одинаковой степенью симметрии.

Если в четырехугольнике все углы прямые, то его называют прямоугольником.

На рисунке 125 изображен прямоугольник ABCD.

Стороны AB и BC имеют общую вершину B. Их называют соседними сторонами прямоугольника ABCD. Также соседними являются, например, стороны BC и CD.

Соседние стороны прямоугольника называют его длиной и шириной .

Стороны AB и CD не имеют общих вершин. Их называют противоположными сторонами прямоугольника ABCD. Также противолежащими являются стороны BC и AD.

Противолежащие стороны прямоугольника равны.

На рисунке 125 AB = CD, BC = AD. Если длина прямоугольника равна a, а ширина − b, то его периметр вычисляют по уже знакомой тебе формуле:

P = 2 a + 2 b

Прямоугольник, у которого все стороны равны, называют квадратом (рис. 126 ).

Проведем прямую l, проходящую через середины двух противолежащих сторон прямоугольника (рис. 127 ). Если лист бумаги перегнуть по прямой l, то две части прямоугольника, лежащие по разные стороны от прямой l, совпадут.

Аналогичным свойством обладают фигуры, изображенные на рисунке 128 . Такие фигуры называют симметричными относительно прямой . Прямую l называют осью симметрии фигуры .

Итак, прямоугольник − это фигура, имеющая ось симметрии. Также ось симметрии имеет равнобедренный треугольник (рис. 129 ).

Фигура может иметь более одной оси симметрии. Например, прямоугольник, отличный от квадрата, имеет две оси симметрии (рис. 130 ), а квадрат − четыре оси симметрии (рис. 131 ). Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (рис. 132 ).

Изучая окружающий мир, мы часто встречаемся с симметрией. Примеры симметрии в природе показаны на рисунке 133 .

Объекты, имеющие ось симметрии, легко воспринимаются и приятные для глаза. Недаром в Древней Греции слово "симметрия" служило синонимом слов "гармония", "красота".

Идея симметрии широко используется в изобразительном искусстве, архитектуре (рис. 134 ).

На этом уроке мы рассмотрим ещё одну характеристику некоторых фигур - осевую и центральную симметрию. С осевой симметрией мы сталкиваемся каждый день, глядя в зеркало. Центральная симметрия очень часто встречается в живой природе. Вместе с тем, фигуры, которые обладают симметрией, имеют целый ряд свойств. Кроме того, впоследствии мы узнаем, что осевая и центральная симметрии являются видами движений, с помощью которых решается целый класс задач.

Данный урок посвящён осевой и центральной симметрии.

Определение

Две точки и называются симметричными относительно прямой , если:

На Рис. 1 изображены примеры симметричных относительно прямой точек и , и .

Рис. 1

Отметим также тот факт, что любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой.

Симметричными относительно прямой могут быть и фигуры.

Сформулируем строгое определение.

Определение

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно этой прямой точка также принадлежит фигуре. В этом случае прямая называется осью симметрии . Фигура при этом обладает осевой симметрией .

Рассмотрим несколько примеров фигур, обладающих осевой симметрией, и их оси симметрии.

Пример 1

Угол обладает осевой симметрией. Осью симметрии угла является биссектриса. Действительно: опустим из любой точки угла перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до пересечения с другой стороной угла (см. Рис. 2).

Рис. 2

(так как - общая сторона, (свойство биссектрисы), а треугольники - прямоугольные). Значит, . Поэтому точки и симметричны относительно биссектрисы угла.

Из этого следует, что и равнобедренный треугольник обладает осевой симметрии относительно биссектрисы (высоты, медианы), проведённой к снованию.

Пример 2

Равносторонний треугольник обладает тремя осями симметрии (биссектрисы/медианы/высоты каждого из трёх углов (см. Рис. 3).

Рис. 3

Пример 3

Прямоугольник обладает двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через середины двух его противоположных сторон (см. Рис. 4).

Рис. 4

Пример 4

Ромб также обладает двумя осями симметрии: прямые, которые содержат его диагонали (см. Рис. 5).

Рис. 5

Пример 5

Квадрат, являющийся одновременно ромбом и прямоугольником, обладает 4 осями симметрии (см. Рис. 6).

Рис. 6

Пример 6

У окружности осью симметрии является любая прямая, проходящая через её центр (то есть содержащая диаметр окружности). Поэтому окружность имеет бесконечно много осей симметрии (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рассмотрим теперь понятие центральной симметрии .

Определение

Точки и называются симметричными относительно точки , если: - середина отрезка .

Рассмотрим несколько примеров: на Рис. 8 изображены точки и , а также и , которые являются симметричными относительно точки , а точки и не являются симметричными относительно этой точки.

Рис. 8

Некоторые фигуры являются симметричными относительно некоторой точки. Сформулируем строгое определение.

Определение

Фигура называется симметричной относительно точки , если для любой точки фигуры точка, симметричная ей, также принадлежит данной фигуре. Точка называется центром симметрии , а фигура обладает центральной симметрией .

Рассмотрим примеры фигур, обладающих центральной симметрией.

Пример 7

У окружности центром симметрии является центр окружности (это легко доказать, вспомнив свойства диаметра и радиуса окружности) (см. Рис. 9).

Рис. 9

Пример 8

У параллелограмма центром симметрии является точка пересечения диагоналей (см. Рис. 10).

Рис. 10

Решим несколько задач на осевую и центральную симметрию.

Задача 1.

Сколько осей симметрии имеет отрезок ?

Отрезок имеет две оси симметрии. Первая из них - это прямая, содержащая отрезок (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). Вторая - серединный перпендикуляр к отрезку, то есть прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.

Ответ: 2 оси симметрии.

Задача 2.

Сколько осей симметрии имеет прямая ?

Прямая имеет бесконечно много осей симметрии. Одна из них - это сама прямая (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой). А также осями симметрии являются любые прямые, перпендикулярные данной прямой.

Ответ: бесконечно много осей симметрии.

Задача 3.

Сколько осей симметрии имеет луч ?

Луч имеет одну ось симметрии, которая совпадает с прямой, содержащей луч (так как любая точка прямой симметрична сама себе относительно этой прямой).

Ответ: одна ось симметрии.

Задача 4.

Доказать, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим ромб . Докажем, к примеру, что прямая является его осью симметрии. Очевидно, что точки и являются симметричными сами себе, так как лежат на этой прямой. Кроме того, точки и симметричны относительно этой прямой, так как . Выберем теперь произвольную точку и докажем, что симметричная ей относительно точка также принадлежит ромбу (см. Рис. 11).

Рис. 11

Проведём через точку перпендикуляр к прямой и продлим его до пересечения с . Рассмотрим треугольники и . Эти треугольники прямоугольные (по построению), кроме того, в них: - общий катет, а (так как диагонали ромба являются его биссектрисами). Значит, эти треугольники равны: . Значит, равны и все их соответствующие элементы, поэтому: . Из равенства этих отрезков следует то, что точки и являются симметричными относительно прямой . Это означает, что является осью симметрии ромба. Аналогично можно доказать этот факт и для второй диагонали.

Доказано.

Задача 5.

Доказать, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм . Докажем, что точка является его центром симметрии. Очевидно, что точки и , и являются попарно симметричными относительно точки , так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Выберем теперь произвольную точку и докажем, что симметричная ей относительно точка также принадлежит параллелограмму (см. Рис. 12).