Элементарные функции и их графики

Прямая пропорциональность. Линейная функция .

Обратная пропорциональность. Гипербола.

Квадратичная функция . Квадратная парабола.

Степенная функция. Показательная функция.

Логарифмическая функция . Тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

1.	Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны , то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k x , где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k (рис.8). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом . На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = 3 .
2.	Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени: A x + B y = C , где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия . Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A , B , C показаны на рис.9.
3.	Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны , то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k / x , где k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью (о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k , что следует из уравнения гиперболы: xy = k . Основные характеристики и свойства гиперболы: Область определения функции: x 0, область значений: y 0 ; Функция монотонная (убывающая) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему?); Функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; - нулей функция не имеет.
4.	Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c , где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax 2 . График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет ось симметрии OY , которая называется осью параболы . Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы . График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2 , но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами: Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x 2 и дискриминанта D : D = b 2 – 4ac . Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0 .

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

Область определения функции:  < x + (т.e. x R ), а область

значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);

Функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

Функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Степенная функция. Это функция: y = ax n , где a , n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность : y = ax ; при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу . Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a , т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х , исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции: Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3. При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y . При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой . На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2 , её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного углаЭто способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак  перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.
6.	Показательная функция. Функция y = a x , где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией . Аргумент x принимает любые действительные значения ; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа , так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = 3, y = 3 i и y = 3 i (проверьте, пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х , т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:  < x + (т.e. x R ); область значений: y > 0 ; Функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - нулей функция не имеет.
7.	Логарифмическая функция. Функция y = log a x , где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической . Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Основные характеристики и свойства логарифмической функции: Область определения функции: x > 0, а область значений:  < y + (т.e. y R ); Это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; Функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; У функции есть один ноль: x = 1.
8.	Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой . График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на 2 Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: Область определения:  < x +  область значений: 1 y +1; Эти функции периодические: их период 2; Функции ограниченные (| y | , всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности , внутри которых они ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.19 и рис.20); Функции имеют бесчисленное множество нулей (подробнее см. раздел «Тригонометрические уравнения»). Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22 Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период , неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности (какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?). Область определения и область значений этих функций:
9.	Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: 1 x +1 и  < y + . Поскольку эти функции многозначные, не

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Школа №77»

Сормовского района г. Нижнего Новгорода

Научное общество учащихся

Графики и их функции

Выполнил: Баканин Тимофей,

ученик 9-А класса

Научный руководитель: Григоренко Л.А.

Г. Нижний Новгород

2016

Содержание

Вступление…………………………………………………………………………………...3

Функциональная зависимость и график функции. Способы задания функции……..4

Простейшие элементарные функции…………………………………………………...5

1. 1. Линейная функция

      Парабола

      Гипербола

      Степенная функция

3.Геометрические преобразования графиков функции…………………………………..11

4.Построение графиков функции………………………………………………………….12

5.Применение графиков функции к решению задач……………………………………..17

Заключение……………………………………………………………………………...22

Список литературы……………………………………………………………………..23

Вступление.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес. Существуют различные способы задания функций: аналитический, табличный, словесный, параметрический, а также графический.

Всегда, когда нужно выяснить общий характер поведения функции, обнаружить ее особенности, график в силу своей наглядности является незаменимым.

Действительно, график функции есть изображение нашего понимания того, как ведет себя функция. Для этого необходимо знать элементарные функции, их свойства и графики, владеть методикой построения графиков.

В технике и физике часто пользуются именно графическим способом задания функции. Ученый-сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследующий больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер - радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. По мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике.

С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней.

Я выбрал именно эту тему для своей работы, потому что она поможет мне в сдаче экзаменов и интересна сама по себе.

Функциональная зависимость и график функции. Способы задания функции

Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие число y , то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y – зависимой переменной или функцией.

Областью определения функции называют множество всех значений, которые может принимать её аргумент.

Если функция задана формулой, то принято считать, что она определена при всех тех значениях аргумента, при которых эта формула имеет смысл, т.е. выполнимы все действия, указанные в выражении, стоящем в правой части формулы.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Способы задания функции:

1)Табличный способ

При этом способе ряд отдельных значений аргумента,…, и соответствующий ему ряд отдельных значений функции,…, задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между x и y и не является наглядным.

2)Словесный способ

Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле y = D ( x ): если x -рациональное число, то значение функции D ( x ) равно 1, а если число x -иррациональное, то значение D ( x ) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D () при заданном значении x =, необходимо каким-либо способом установить, рационально или иррационально число.

3)Графический способ

Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции y = f ( x ). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.

4)Аналитический способ

При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента x можно найти соответствующее значение функции y . В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения y при любом значении x и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

Простейшие элементарные функции.

1) Линейная:

Свойства:

1. D ( y ) = (−∞; +∞); E ( y ) = (−∞; +∞).

2.Если b = 0, то функция нечетная.

Если b

3. Если х = 0, то у = b , если у = 0, то х = − .

4. Если k > 0, то функция возрастает при х-любое.

Если k < 0, то функция убывает при х-любое.

Построение линейной функции.

Для того, чтобы построить прямую, достаточно знать две точки. Построить график функции y =2 x +1 .

x

2) Квадратичная функция: ; .

Свойства:

1. D ( y ) = (−∞; +∞).

2. Если a > 0, то E ( y ) = [у в ; +∞);

Если a < 0, то E ( y ) = (−∞; у в ].

3.Если b = 0, то функция четная.

Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная.

4.Если х = 0, то у = c , если у = 0, то х 1,2 =

5. Если a > 0, то функция возрастает при х[ x в ; +∞);

функция убывает при х(−∞; х в ].

Если a < 0, то функция возрастает при х(−∞; х в ];

функция убывает при х[ x в ; +∞).

Построение параболы.

Определить направление ветвей параболы.

Если, то ветви направлены вверх,

Если, то ветви направлены вниз.

Найти вершину параболы используя две формулы по очереди: и.

Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Oy .

Найти 4 точки графика путем подстановки значений x под формулу.

По найденным точкам построить график.

3) Гипербола:

Свойства:

1. D ( y ) = (−∞; 0) u (0; +∞)

2. E ( y ) = (−∞; 0) u (0 ; +∞)

3. Функция нечетная.

4. х ≠ 0, у ≠ 0.

5. Если k > 0, то функция убывает

при х(−∞; 0) u (0; +∞).

Если k < 0, то функция возрастает

при х(−∞; 0) u (0; +∞).

Построение гиперболы.

Находим область определения

Функция является нечётной , а значит, гипербола симметрична относительно начала координат.

График функции вида представляют собой две ветви гиперболы .

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях .

Используем поточечный метод построения, при этом,

значения x выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело.

4)Функция с модулем:

Построение функции с модулем.

Рассмотрим простейший случай

Для функция совпадает с функцией, а для х<0 - с функцией.

5)Степенная функция:

Свойства:

Если n = 2 k , где k Є Z

1. D ( y )=(−∞; +∞).

2. E ( y )=.

Если n = 2 k +1, где k Є Z

1. D ( y )=(−∞; +∞).

2. E ( y )=(−∞; +∞).

3. Функция нечетная.

4. Если х = 0, то у = 0.

5. Функция возрастает при хЄ(−∞; +∞).

Построение кубической параболы.

Кубическая парабола задается функцией

Находим область определения – x -любое действительное число

Область значений функции- y -любое действительное число.

Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат .

Используя поточечный метод построения, делаем чертеж.

Геометрические преобразования графиков функций.

1)Преобразование вида y = f ( x )+ b

y = f (x ) на b единиц вдоль оси ординат.

Если b > 0, то происходит смещение

Если b <0, то происходит смещение↓

2)Преобразование вида y = f (x – a )

Это параллельный перенос графика функции y = f (x ) на a единиц вдоль оси абсцисс

Если а > 0, то происходит смещение →

Если а < 0, то происходит смещение ←

3)Преобразование вида y = kf (x )

Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f (x ) вдоль оси ординат.

Если, | k | > 1, то происходит растяжение

Если, | k | < 1, то происходит сжатие

4)Преобразование вида y = f (mx )

Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f (x ) вдоль оси абсцисс

Если, | m |> 1, то происходит сжатие

Если, | m |< 1, то происходит растяжение

5)Преобразование вида y = | f (x )|

Это отображение нижней части

графика функции y = f (x ) в верхнюю

полуплоскость относительно оси абсцисс

с сохранением верхней части графика

6)Преобразование вида y = f (| x |)

Это отображение правой части графика функции y = f (x ) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика

Построение графиков функций.

1)Построить график функции y =+

y=

x =-1 и x =1 – точки излома

2) Построить график функции y =

y =

3) Построить график функции y =,

Область определения: x ≠0

y =

4) Построить график функции y =

Область определения: x ≠1

1)≥0 2) <0

≥1 <1

≥1 -1< x <1

x ≤-1 , x ≥1 y ==- x -1

так как x ≠1, то x ≤-1, x >1

y == x +1

5) Построить график функции y =

Область определения: x ≠1

=1,5±0,5

=2, =1

1) x-1>0, x>1

y===x-2

y=x-2, x>1

2) x-1<0, x<1

y==-x+2

y=-x+2, x<1

6) Построить график функции y =+

y=+=+

x<-2, y=-x+1-x-2=-2x-1

-2≤x≤1, y=-x+1+x+2=3

x≥1, y=x-1+x+2=2x=1

7) Построить график функции y =

Область определения: -1≠0, x ≠±1

1) x -1>0, x >1, y ==

2) x-1<0, x<1, y==

y= (x) =

y=(x) =(x-1) =

y =(x ) =(-x)== -

8) Построить график функции y =

Область определения: x ≠0

Функция нечетная, то ветви графика симметричны относительно начала координат.

Применение графиков функций к решению задач.

1)При каких значениях параметра k уравнение
= k имеет два корня?

Решение.

1. k ≥0

2.Построим график y =

a ) Область определения функции: x ≠±1.

б)

в) Поскольку функция четная, гипербола симметричная относительно оси Oy .

3.Так как уравнение имеет 2 корня, прямая y = k должна пересекать график в двух точках. Следовательно, 1< k <2. Заметим, что при k =2 будет три корня.

2)При каких значениях параметра k уравнение

= k имеет 4 корня?

Решение.

Правая часть уравнения может быть только неотрицательной, то есть k ≥0.

Построим график функции

y=

a )

б)

Ответ:

а) Если k =0, то уравнение имеет 4 корня(-4;-2;2;4)

б) Если 1< k <8, то уравнение имеет 4 корня(-5,5;-0,5;0,5;5,5)

3)Решить неравенство

x -1 <

Решение.

1.Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций

y = x -1 и y =.

2.Решим уравнения:

А) x -1=-5 x +4 Б) x -1= -(-5 x +4)

x -1= -+5 x -4

=5, =1 =0

=3, =1.

3.Построим графики функций

y = x -1 и y =

y =

= - = 2,5

=

(2,5;-2,25)-вершина параболы.

y =0: -5 x +4=0

=2,5±1,5

=4; =1

y (0)=4

Ответ: x <1,1< x <3, x >5.

4) Решить уравнение 1-=.

Решение.

Изобразим в одной системе координат графики функций y =1- и y =

Графики пересеклись в точке (-1;2). Следовательно, корень данного уравнения x =-1.

Ответ: x= -1

Постройте график функции

и определите, при каких значениях прямая будет пересекать построенный график в трёх точках.

Решение .

Построим график функции

Из графика видно, что прямая у = с будет иметь с графиком ровно три точки пересечения при с принадлежащим множеству: (0;5).

Ответ: (0; 5).

Постройте график функции у = и определите, при каких значениях k построенный график не будет иметь общих точек с прямой у= k х.

Решение.

Область определения: х и х

Преобразуем функцию к виду: у = . График - прямая у = х-3 без двух точек (-3; -6) и (9; 6).

Прямая у= k х не будет иметь с построенной прямой общих точек, если она будет ей параллельна, т. е. при k =1, и если она будет проходить через выколотые точки. Через первую из этих точек прямая проходит, если k =2, а через вторую - если

k =

Ответ: ; 1;2.

Заключение

Выполнив данную работу, я научился выполнять построение графиков функций при помощи геометрических преобразований. Это поможет мне решать различные типы задач (неравенства, уравнения, задачи с параметром) графическим способом. Таким образом я готовлюсь к успешной сдаче экзамена ОГЭ и ЕГЭ.

Список литературы:

Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Пособие для поступающих в вузы. – М.: АРКТИ, 2001

Дороднов А.М. и др. Графики функции. Учебное пособие для поступающих в вузы. М., «Высш.школа», 1972

Гельфанд И.М., Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль Функции и их графики «Наука» Москва 1971

Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: М.: Просвещение, 1985

Открытый банк заданий ФИПИ

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2011

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x) — горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y) — вертикальная ось.

Функция

Функция — это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b — любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b:

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b — точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , фукция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Парабола

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c:

1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.

• Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
• Если a < 0 , ветки параболы направлены вниз.

1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
2. Коэффициент b помогает найти x в — координату вершины параболы.

x в = − b 2 a

1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью.

• Если D > 0 — две точки пересечения.
• Если D = 0 — одна точка пересечения.
• Если D < 0 — нет точек пересечения.

Графиком функции y = k x является гипербола .

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k     <     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Квадратный корень

Функция y     =     x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

Функция y   =   f (x) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует большее значение функции (большее значение y) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Функция y   =   f (x) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует меньшее значение функции (большее значение y) .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.