Тело поверхность многогранники и виды. Что такое многогранник? Обобщенная формула Эйлера

Трёхгранные и многогранные углы:
Трёхгранным углом называется фигура
образованная тремя плоскостями, ограниченными тремя лучами, исходящими из
одной точки и не лежащей в одной
плоскости.
Рассмотрим какой-нибудь плоский
многоугольник и точку лежащую вне
плоскости этого многоугольника.
Проведём из этой точки лучи,
проходящие через вершины
многоугольника. Мы получим фигуру,
которая называется многогранным
углом.

Трёхгранный угол - это часть пространства,
ограниченная тремя плоскими углами с общей
вершиной
и
попарно
общими
сторонами,
не
лежащими в одной плоскости. Общая вершина О этих
углов
называется
вершиной
трёхгранного
угла.
Стороны углов называются рёбрами, плоские углы
при вершине трёхгранного угла называются его
гранями. Каждая из трёх пар граней трёхгранного угла
образует двугранный угол

Основные свойства трехгранного угла
1. Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы
двух других его плоских углов.
+ > ; + > ; + >
α, β, γ - плоские углы,
A, B, C - двугранные углы, составленные плоскостями
углов β и γ, α и γ, α и β.
2. Сумма плоских углов трёхгранного угла меньше
360 градусов
3. Первая теорема косинусов
для трёхгранного угла
4. Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла

,
5. Теорема синусов
Многогранный угол, внутренняя область которого
расположена по одну сторону от плоскости каждой из
его граней, называется выпуклым многогранным
углом. В противном случае многогранный угол
называется невыпуклым.

Многогранник- это тело, поверхность
которого состоит из конечного числа
плоских многоугольников.

Элементы многогранника
Грани многогранника - это
многоугольники, которые его
образуют.
Ребра многогранника - это стороны
многоугольников.
Вершины многогранника - это
вершины многоугольника.
Диагональ многогранника - это
отрезок, соединяющий 2 вершины,
не принадлежащие одной грани.

Многогранники
выпуклый
невыпуклый

Многогранник называется выпуклым,
если он расположен по одну сторону
плоскости каждого многоугольника на его
поверхности.

10. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ

Многогранный угол называется выпуклым, если он является выпуклой
фигурой, т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и
соединяющий их отрезок.
На рисунке приведены примеры
выпуклого
и
невыпуклого
многогранных углов.
Теорема. Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

11. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Многогранник угол называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой,
т. е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий
их отрезок.
Куб, параллелепипед, треугольные призма и пирамида являются выпуклыми
многогранниками.
На рисунке приведены примеры выпуклой и невыпуклой пирамиды.

12. СВОЙСТВО 1

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются
выпуклыми многоугольниками.
Действительно, пусть F - какая-нибудь грань многогранника
M, и точки A, B принадлежат грани F. Из условия выпуклости
многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится
в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости
многоугольника F, он будет целиком содержаться и в этом
многоугольнике, т. е. F - выпуклый многоугольник.

13. СВОЙСТВО 2

Свойство 2. Всякий выпуклый многогранник может быть составлен из
пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность
многогранника.
Действительно, пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем какую-нибудь
внутреннюю точку S многогранника M, т. е. такую его точку, которая не
принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с
вершинами многогранника M отрезками. Заметим, что в силу выпуклости
многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с
вершиной S, основаниями которых являются грани многогранника M. Эти
пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.

14. Правильные многогранники

Если грани многогранника являются
правильными многоугольниками с одним и
тем же числом сторон и в каждой вершине
многогранника сходится одно и то же число
ребер, то выпуклый многогранник
называется правильным.

15. Названия многогранников

пришли из Древней Греции,
в них указывается число граней:
«эдра» грань;
«тетра» 4;
«гекса» 6;
«окта» 8;
«икоса» 20;
«додека» 12.

16. Правильный тетраэдр

Рис. 1
Составлен из четырёх
равносторонних
треугольников. Каждая
его вершина является
вершиной трёх
треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
180º.

17.

Правильный октаэдр
Рис. 2
Составлен из восьми
равносторонних
треугольников. Каждая
вершина октаэдра
является вершиной
четырёх треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине 240º.

18.

Правильный икосаэдр
Рис. 3
Составлен из двадцати
равносторонних
треугольников. Каждая
вершина икосаэдра
является вершиной пяти
треугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
300º.

19. Куб (гексаэдр)

Рис.
4
Составлен из шести
квадратов. Каждая
вершина куба является
вершиной трёх квадратов.
Следовательно, сумма
плоских углов при каждой
вершине равна 270º.

20.

Правильный додекаэдр
Рис. 5
Составлен из двенадцати
правильных
пятиугольников. Каждая
вершина додекаэдра
является вершиной трёх
правильных
пятиугольников.
Следовательно, сумма
плоских углов при
каждой вершине равна
324º.

21.

Таблица № 1
Правильный
многогранник
Число
граней
вершин
рёбер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30

22.

Формула Эйлера
Сумма числа граней и вершин любого
многогранника
равна числу рёбер, увеличенному на 2.
Г+В=Р+2
Число граней плюс число вершин минус число
рёбер
в любом многограннике равно 2.
Г+В Р=2

23.

Таблица № 2
Число
Правильный
многогранник
Тетраэдр
граней и
вершин
(Г + В)
рёбер
(Р)
4+4=8
6
«тетра» 4;
Куб
6 + 8 = 14
12
«гекса»
6;
Октаэдр
8 + 6 = 14
12
«окта»
Додекаэдр
12 + 20 = 32
30
додека»
12.
30
«икоса»
20
Икосаэдр
20 + 12 = 32
8

24.

25.

26. Двойственность правильных многогранников

Гексаэдр (куб) и октаэдр образуют
двойственную пару многогранников. Число
граней одного многогранника равно числу
вершин другого и наоборот.

27.

Возьмем любой куб и рассмотрим многогранник с
вершинами в центрах его граней. Как нетрудно
убедиться, получим октаэдр.

28.

Центры граней октаэдра служат вершинами куба.

29.

Многогранники в природе, химии и биологии
Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников.
Кристалл
пирита-
природная
модель
додекаэдр.
Кристаллы
поваренной
соли передают
форму куб.
Монокристалл
Сурьменистый
Хрусталь
алюминиевосернокислый
(призма)
калиевых квасцов натрий – тетраэдра.
имеет форму
октаэдра.
В молекуле
метана имеет
форму
правильного
тетраэдра.
Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы
вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы
установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет
под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один
многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.
В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем
октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец,
самое, пожалуй, главное – структура ДНК генетического кода жизни – представляет
собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!

30.

Многогранники в искусстве
«Портрет Монны Лизы»
Композиция рисунка основана на золотых
треугольниках, являющихся частями
правильного звездчатого пятиугольника.
гравюра «Меланхолия»
На переднем плане картины
изображен додекаэдр.
«Тайная Вечеря»
Христос со своими учениками изображён на
фоне огромного прозрачного додекаэдр.

31.

Многогранники в архитектуре
Музеи Плодов
Музеи Плодов в Яманаши создан с помощью
трехмерного моделирования.
Пирамиды
Александрийский маяк
Спасская башня
Кремля.
Четырехъярусная Спасская башня с церковью Спаса
Нерукотворного - главный въезд в Казанский кремль.
Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном
Ширяем и Постником Яковлевым по прозванию
«Барма». Четыре яруса башни представляют из себя
куб, многогранники и пирамиду.

Многогранниками называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, назы­ваемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранники делятся на: выпуклые и невыпуклые.

Выпуклым многогранником называется такой многогранник, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости.

Выпуклые многогранники делятся на : правильные и неправильные.

Правильный многогранник – выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:

Он выпуклый;

Все его грани являются равными правильными многоугольниками;

В каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным , если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентнымимежду собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.
Сколько же существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Существует 5 правильных многогранников:

Тетраэдр – составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=180°. Т.о., тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Куб – составлен из 6 квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине=270°. Т.о., куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Октаэдр – составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=240°. Т.о., октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Икосаэдр – составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 5 треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=300°. Т.о., икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Додекаэдр – составлен из 12 равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине=324°. Т.о., додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Правильные многогранники также называются платоновыми телами . Каждый из правильных многогранников Платон ассоциировал с 4 «земными» стихиями: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с «наземным» элементом – небом (додекаэдр).

Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера.

Теорема Эйлера для многогранников – теорема, устанавливающая связь между числами вершин, ребер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере:

«Сумма числа граней и вершин = числу ребер, увеличенному на 2» - Г+В=Р+2 (данная формула верна для любых выпуклых многогранников).

Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n - угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г =2P/n; mB = 2P; В = 2P/m.

По теореме Эйлера, В - Р + Г = 2 и, следовательно, 2P/m-P+2P/n=2

Откуда Р = 2nm/(2n+2m-nm).

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4.

Найдем всевозможные значения n и m , удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

n m
	B=4, Р=6, Г=4 тетраэдр	В=6, Р=12, Г=8 октаэдр	В=12, Р=30, Г=20 икосаэдр
	В=8, Р=12, Г=4 куб	Не существует	Не существует
	В=20, Р=30, Г=12 додекаэдр	Не существует	Не существует

Например, значения n = 3, m = 3 удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.
Значения n = 4, m = 4 не удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр).

Анализ учебных планов и программ по математике

Школьным учебным планом на изучение математики с 1 по 11 класс отводится около 2000 учебных часов. Дополнительные часы на изучение математики предусматриваются в системе факультативных курсов (8-11 классы).

Нормативным, обязательным для выполнения документом, определяющим основное содержание школьного курса математики, объем подлежащих усвоению учащимися каждого класса знаний, приобретаемых умений и навыков, явл. учебная программа.

Учебная программа школы основывается на принципах соответствия программы основным целям школы, обеспечивает преемственность получаемой учащимися подготовки в 1-3 классах (нач. школа), 5-9 классах, 10-11 классах.

Учащиеся, которые после окончания девятилетней школы будут завершать среднее образование в системе профессиональнотехнических училищ, в средних специальных учебных заведениях, в вечерних (заочных) школах, должны получить математическую подготовку в том же объеме, что и учащиеся, оканчивающие среднюю общеобраз. школу. Т.о., все учащиеся, получившие среднее образование, приобретают равную возможность для продолжения образования.

Предусмотренное программой содержание школьного математического образования, несмотря на происходящие в нем изменения, в течение достаточно длительного времени сохраняет свое основное ядро. Такая устойчивость основного содержания программы объясняется тем, что математика, приобретая в своем развитии много нового, сохраняет и все ранее накопленные научные знания, не отбрасывая их как устаревшие и ставшие ненужными.

"Ядро" современной программы по математике составляют:

1. Числовые системы. 2. Величины.

3. Уравнения и неравенства. 4. Тождественные преобразования математических выражений.
5. Координаты. 6. Функции.
7. Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин. Геометрические преобразования. 8. Векторы.
9. Начала математического анализа. 10. Основы информатики и вычислительной техники.

Каждый из вошедших в это "ядро" разделов имеет свою историю развития как предмет изучения в средней школе. На каком возрастном этапе, в каких классах, с какой глубиной и при каком числе часов изучаются эти разделы, определяет программа по математике для средней школы.

Раздел "Числовые системы" изучается на протяжении всех лет обучения. В школьную программу вопросы числовых систем входили уже давно. Но с течением времени происходило снижение возраста, в котором учащиеся изучали включаемые в программу темы, возрастала глубина их изложения. В наст время изыскиваются возможности включения в программу заключительной темы этого раздела - "Комплексные числа".

Изучение величин в программах и учебниках по математике не выделено в специальный раздел. Но на протяжении всех лет обучения учащиеся выполняют действия с различными величинами при решении задач, особенно задач, отражающих связи курса математики с дисциплинами естественнонаучного, технического циклов.

Изучению уравнений и неравенств посвящается значительная часть всего учебного времени. Особая значимость темы состоит в широком применении уравнений и неравенств в самых различных областях приложений математики. До недавнего времени систематическое изучение уравнений начиналось лишь с 7 класса. В течение последних десятилетий знакомство с уравнениями и применение уравнений к решению задач вошло в курс математики начальной школы и 5-6 классов.

Выполнение тождественных преобразований, овладение специфическим языком математики требуют от учащихся не только понимания, но и отработки прочных практических навыков на достаточно большом числе тренировочных упражнений. Такие упражнения, содержание которых в каждом разделе курса обладает своими особенностями, выполняются учащимися всех классов.

Координаты и функции вошли в курс математики средней школы только в первой четверти XX в. Характерной особенностью современного школьного курса математики являются расширение этих разделов и возрастающая роль метода координат и функций в изучении других тем школьной программы.

Наибольшую остроту в обсуждении вопросов его содержания приобрел в последние десятилетия курс геометрии. Здесь в значительно больших размерах, чем в других разделах школьного курса математики, возникли проблемы соотношения традиционного содержания с необходимыми новыми дополнениями. Однако при всех различиях в подходах к решению этой проблемы получило общее одобрение включение в курс геометрических преобразований.

Векторы впервые вошли в курс геометрии нашей школы только в середине 70-х годов. Большая общеобразовательная значимость этой темы, обширные практические применения обеспечили ей общее признание. Однако вопросы доходчивого для всех учащихся изложения этого раздела в школьных учебниках, применения векторов к решению содержательных задач находятся еще в стадии разработки и могут найти свое решений только на основе глубокого анализа и учета результатов школьного преподавания.

Элементы математического анализа вошли в программу общеобразовательной школы недавно. Включение в программу этих разделов вызвано их большой прикладной значимостью.

Раздел основы информатики и вычислительной техники отражает требования, предъявляемые к современной математической подготовке молодежи в связи с широким внедрением в практику ЭВМ.

МНОГОГРАННИК
часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника. На рис. 1 представлены несколько известных многогранников. Первые два служат примерами р-угольных пирамид, т.е. многогранников, состоящих из р-угольника, называемого основанием, и р треугольников, примыкающих к основанию и имеющих общую вершину (называемую вершиной пирамиды). При р = 3 (см. рис. 1,а) основанием может служить любая грань пирамиды. Пирамида, основание которой имеет форму правильного р-угольника, называется правильной р-угольной пирамидой. Так, можно говорить о квадратных, правильных пятиугольных и т.д. пирамидах. На рис. 1,в, 1,г и 1,д приведены примеры некоторого класса многогранников, вершины которых можно разделить на два множества из одинакового числа точек; точки каждого из этих множеств являются вершинами р-угольника, причем плоскости обоих p-угольников параллельны. Если эти два р-угольника (основания) конгруэнтны и расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника параллельными прямолинейными отрезками, то такой многогранник называется р-угольной призмой. Примерами двух р-угольных призм могут служить треугольная призма (р = 3) на рис. 1,в и пятиугольная призма (р = 5) на рис. 1,г. Если же основания расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника зигзагообразной ломаной, состоящей из 2р прямолинейных отрезков, как на рис. 1,д, то такой многогранник называется р-угольной антипризмой.

Рис. 1. МНОГОГРАННИКИ. а - тетраэдр, или пирамида с треугольными гранями; б - пирамида с треугольными гранями и квадратным основанием; в - треугольная призма; г - пятиугольная призма; д - р-угольная антипризма; е - исключенный тип многогранника с пересекающимися гранями.

Кроме двух оснований, у р-угольной призмы имеются р граней - параллелограммов. Если параллелограммы имеют форму прямоугольников, то призма называется прямой, а если к тому же основаниями служат правильные р-угольники, то призма называется прямой правильной р-угольной призмой. р-угольная антипризма имеет (2p + 2) граней: 2р треугольных граней и два p-угольных основания. Если основаниями служат конгруэнтные правильные р-угольники, а прямая, соединяющая их центры, перпендикулярна их плоскостям, то антипризма называется прямой правильной р-угольной антипризмой. В определении многогранника последняя оговорка сделана для того, чтобы исключить из рассмотрения такие аномалии, как две пирамиды с общей вершиной. Теперь мы введем дополнительное ограничение множества допустимых многогранников, потребовав, чтобы никакие две грани не пересекались, как на рис. 1,е. Любой многогранник, удовлетворяющий этому требованию, делит пространство на две части, одна из которых конечна и называется "внутренней". Другая, оставшаяся часть, называется внешней. Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединяющий любые две его точки, не содержит точек, принадлежащих внешнему пространству. Многогранники на рис. 1,а, 1,б, 1,в и 1,д выпуклые, а пятиугольная призма на рис. 1,г не выпуклая, так как, например, отрезок PQ содержит точки, лежащие во внешнем пространстве призмы.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям: (i) все его грани - конгруэнтные правильные многоугольники; (ii) к каждой вершине примыкает одно и то же число граней. Если все грани - правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л. Шлефли (1814-1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе. Существуют невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются "правильными звездчатыми многогранниками". Так как мы условились такие многогранники не рассматривать, то под правильными многогранниками мы будем понимать исключительно выпуклые правильные многогранники.
Платоновы тела. На рис. 2 изображены правильные многогранники. Простейшим из них является правильный тетраэдр, гранями которого служат четыре равносторонних треугольника и к каждой из вершин примыкают по три грани. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Это не что иное, как частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда называемый правильным гексаэдром) - прямая квадратная призма, все шесть граней которой - квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и следовательно, ему соответствует запись {3, 4}. Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треугольной антипризмы. Рассмотрим теперь прямую правильную пятиугольную антипризму, грани которой имеют форму равносторонних треугольников, и две правильные пятиугольные пирамиды, основания которых конгруэнтны основанию антипризмы, а грани имеют форму равносторонних треугольников. Если эти пирамиды присоединить к антипризме, совместив их основания, то получится еще один правильный многогранник. Двадцать его граней имеют форму равносторонних треугольников, к каждой вершине примыкают по пять граней. Такой многогранник называется правильным икосаэдром и обозначается {3, 5}. Помимо четырех названных выше правильных многогранников, существует еще один - правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью пятиугольными гранями; к каждой его вершине примыкают по три грани, поэтому додекаэдр обозначается как {5, 3}.

Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также "телами Платона", захватили воображение математиков, мистиков и философов древности более двух тысяч лет назад. Древние греки даже установили мистическое соответствие между тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром и четырьмя природными началами - огнем, землей, воздухом и водой. Что касается пятого правильного многогранника, додекаэдра, то они рассматривали его как форму Вселенной. Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует картина испанского художника Сальвадора Дали Тайная вечеря. Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге Начал Евклида (см. также ГЕОМЕТРИЯ). Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.
Число правильных многогранников. Естественно спросить, существуют ли кроме платоновых тел другие правильные многогранники. Как показывают следующие простые соображения, ответ должен быть отрицательным. Пусть {p, q} - произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р-угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 - 360/р) или 180 (1 - 2/р) градусам. Так как многогранник {p, q} выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство

где символ
Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует. Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В трех последних столбцах указаны N0 - число вершин, N1 - число ребер и N2 - число граней каждого многогранника. К сожалению, приводимое во многих учебниках геометрии определение правильного многогранника неполно. Распространенная ошибка состоит в том, что в определении требуется лишь выполнение приведенного выше условия (i), но упускается из виду условие (ii). Между тем условие (ii) совершенно необходимо, в чем проще всего убедиться, рассмотрев выпуклый многогранник, удовлетворяющий условию (i), но не удовлетворяющий условию (ii). Простейший пример такого рода можно построить, отождествив грань правильного тетраэдра с гранью еще одного тетраэдра, конгруэнтного первому. В результате мы получим выпуклый многогранник, шестью гранями которого являются конгруэнтные равносторонние треугольники. Однако к одним вершинам примыкают три грани, а к другим - четыре, что нарушает условие (ii).
Свойства правильных многогранников. Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой "описанной сферой", имеются еще две важные сферы. Одна из них, "срединная сфера", проходит через середины всех ребер, а другая, "вписанная сфера", касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.
Двойственные многогранники. Рассмотрим правильный многогранник {p, q} и его срединную сферу S. Средняя точка каждого ребра касается сферы. Заменяя каждое ребро отрезком перпендикулярной прямой, касательной к S в той же точке, мы получим N1 ребер многогранника, двойственного многограннику {p, q}. Нетрудно показать, что гранями двойственного многогранника служат правильные q-угольники и что к каждой вершине примыкают р граней. Следовательно, многограннику {p, q} двойствен правильный многогранник {q, p}. Многограннику {3, 3} двойствен другой многогранник {3, 3}, конгруэнтный исходному (поэтому {3, 3} называется самодвойственным многогранником), многограннику {4, 3} двойствен многогранник {3, 4}, а многограннику {5, 3} - многогранник {3, 5}. На рис. 3 многогранники {4, 3} и {3, 4} показаны в положении двойственности друг другу. Кроме того, каждой вершине, каждому ребру и каждой грани многогранника {p, q} соответствует единственная грань, единственное ребро и единственная вершина двойственного многогранника {q, p}. Следовательно, если {p, q} имеет N0 вершин, N1 ребер и N2 граней, то {q, p} имеет N2 вершин, N1 ребер и N0 граней.

Так как каждая из N2 граней правильного многогранника {p, q} ограничена р ребрами и каждое ребро является общим ровно для двух граней, то всего имеется pN2/2 ребер, поэтому N1 = pN2/2. У двойственного многогранника {q, p} ребер также N1 и N0 граней, поэтому N1 = qN0/2. Таким образом, числа N0, N1 и N2 для любого правильного многогранника {p, q} связаны соотношением
Симметрия. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы. Пусть l - прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг l на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией. Пусть, далее, p - плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости p (движение, переводящее любую точку P в точку P", такую, что p пересекает отрезок PP" под прямым углом и делит его пополам) - еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости p с поворотом вокруг прямой l, мы получим еще одну симметрию. Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой l есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих l и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов. Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае - обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой - прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия. Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника {3, 3}. Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии. Для наглядности полезно построить картонную модель правильного тетраэдра и убедиться, что тетраэдр действительно обладает 24 симметриями. Развертки, которые можно вырезать из тонкого картона и, сложив, склеить из них пять правильных многогранников, приведены на рис. 4.

Прямые симметрии остальных правильных многогранников можно описать не по отдельности, а все вместе. Условимся понимать под {p, q} любой правильный многогранник, кроме {3, 3}. Прямая, проходящая через центр {p, q} и любую вершину, проходит через противоположную вершину, и любой поворот на целое кратное 360/q градусов вокруг этой прямой является симметрией. Следовательно, для каждой такой прямой существуют, включая тождественное преобразование, (q - 1) различных симметрий. Каждая такая прямая соединяет две из N0 вершин; следовательно, всего таких прямых - N0/2, что дает (q - 1) > N0/2 симметрий. Кроме того, прямая, проходящая через центр многогранника {p, q} и центр любой грани, проходит через центр противоположной грани, и любой поворот вокруг такой прямой на целое кратное 360/р градусов является симметрией. Так как общее число таких линий равно N2/2, где N2 - число граней многогранника {p, q}, мы получаем (p - 1) N2/2 различных симметрий, включая тождественное преобразование. Наконец, прямая, проходящая через центр и середину любого ребра многогранника {p, q}, проходит через середину противоположного ребра, и симметрией является полуоборот вокруг этой прямой. Поскольку имеется N1/2 таких прямых, где N1 - число ребер многогранника {p, q}, мы получаем еще N1/2 симметрий. С учетом тождественного преобразования получаем

Прямых симметрий. Других прямых симметрий нет, и имеется столько же обратных симметрий. Хотя формула (3) была получена не для многогранника {3, 3}, нетрудно проверить, что она верна и для него. Таким образом, многогранник {3, 3} обладает 12 прямыми симметриями, многогранники {4, 3} и {3, 4} имеют по 24 симметрии, а многогранники {5, 3} и {3, 5} - по 60 симметрий. Читатели, знакомые с абстрактной алгеброй, поймут, что симметрии многогранника {p, q} образуют группу относительно определенного выше "умножения". В этой группе прямые симметрии образуют подгруппу индекса 2, а обратные симметрии группу не образуют, так как нарушают свойство замкнутости и не содержат тождественного преобразования (единичного элемента группы). Обычно о группе прямых симметрий говорят как о группе многогранника, а полную группу симметрий называют его расширенной группой. Из рассмотренных выше свойств двойственных многогранников ясно, что любой правильный многогранник и двойственный ему многогранник имеют одну и ту же группу. Группа тетраэдра называется тетраэдрической группой, группа куба и октаэдра называется октаэдрической группой, а группа додекаэдра и икосаэдра - икосаэдрической группой. Они изоморфны знакопеременной группе А4 из четырех символов, симметрической группе S4 из четырех символов и знакопеременной группе А5 из пяти символов соответственно (см. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ).
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА
Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом вершин N0, числом ребер N1 и числом граней N2 любого выпуклого правильного многогранника {p, q}. Речь идет о соотношении

Которое называется формулой Эйлера в честь открывшего ее Л.Эйлера (1707-1783). Левая часть формулы (4) называется "эйлеровой характеристикой". Формула Эйлера используется в сочетании с формулами (2) и (3). Из (4) и (2) получаем:

Отсюда следует выражение для N1 через p и q:

Где

Воспользовавшись еще раз формулой (2), находим аналогичные выражения для N0 и N2:

Подставляя полученные выражения в формулы (3) и (4), получаем, что число прямых симметрий многогранника {p, q} равно

Это число можно записать также в одной из эквивалентных форм: qN0, 2N1 или pN2. Область применения формулы Эйлера. Значимость формулы Эйлера усиливается тем, что она применима не только к платоновым телам, но и к любому многограннику, гомеоморфному сфере (см. ТОПОЛОГИЯ). Это утверждение доказывается следующим образом. Пусть P - любой многогранник, гомеоморфный сфере, с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями; пусть c = N0 - N1 + N2 - эйлерова характеристика многогранника P. Требуется доказать, что c = 2. Так как Р гомеоморфен сфере, мы можем удалить одну грань и превратить остальные в некоторую конфигурацию на плоскости (например, на рис. 5,а и 5,б вы видите призму, у которой удалена передняя плоскость). "Плоскостная конфигурация" представляет собой сеть точек и прямолинейных отрезков, называемых соответственно "вершинами" и "ребрами", при этом вершины служат концами ребер. Вершины и ребра рассматриваемой нами конфигурации мы считаем смещенными и деформированными вершинами и ребрами многогранника. Таким образом, эта конфигурация имеет N0 вершин и N1 ребер. Остальные N2 - 1 граней многогранника деформируются в N2 - 1 непересекающихся областей на плоскости, определяемой конфигурацией. Назовем эти области "гранями" конфигурации. Вершины, ребра и грани конфигурации и определяют эйлерову характеристику, которая в данном случае равна c - 1.

Теперь мы проведем сплющивание так, что если удаленная грань была р-угольником, то все N2 - 1 граней конфигурации заполнят внутренность р-угольника. Пусть А - некоторая вершина внутри р-угольника. Предположим, что в А сходятся r ребер. Если удалить А и все r сходящихся в ней ребер, то число вершин уменьшится на 1, ребер - на r, граней - на r - 1 (см. рис. 5,б и 5,в). У новой конфигурации N"0 = N0 - 1 вершин, N"1 = N1 - r ребер и N"2 = N2 - 1 - (r - 1) граней; следовательно,

Таким образом, удаление одной внутренней вершины и сходящихся в ней ребер не меняет эйлеровой характеристики конфигурации. Поэтому, удалив все внутренние вершины и сходящиеся в них ребра, мы тем самым сведем конфигурацию к р-угольнику и его внутренности (рис. 5,г). Но эйлерова характеристика останется по-прежнему равной c - 1, а так как конфигурация имеет р вершин, р ребер и 1 грань, мы получаем

Таким образом, c = 2, что и требовалось доказать. Далее можно доказать, что если эйлерова характеристика многогранника равна 2, то многогранник гомеоморфен сфере. Иначе говоря, мы можем обобщить полученный выше результат, показав, что многогранник гомеоморфен сфере в том и только в том случае, если его эйлерова характеристика равна 2.
Обобщенная формула Эйлера. Для классификации других многогранников используется обобщенная формула Эйлера. Если у некоторого многогранника 16 вершин, 32 ребра и 16 граней, то его эйлерова характеристика равна 16 - 32 + 16 = 0. Это позволяет утверждать, что данный многогранник принадлежит классу многогранников, гомеоморфных тору. Отличительной особенностью этого класса является эйлерова характеристика, равная нулю. Более общо, пусть Р - многогранник с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями. Говорят, что данный многогранник гомеоморфен поверхности рода n в том и только в том случае, если

Наконец, следует заметить, что ситуация существенно усложняется, если смягчить прежнее ограничение, согласно которому никакие две грани многогранника не должны пересекаться. Например, появляется возможность существования двух негомеоморфных многогранников с одной и той же эйлеровой характеристикой. Их следует различать по другим топологическим свойствам.

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Синонимы :

Смотреть что такое "МНОГОГРАННИК" в других словарях:

Многогранник … Орфографический словарь-справочник

Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т.… … Большой Энциклопедический словарь

Куб, шар, пирамида, цилиндр, конус - геометрические тела. Среди них выделяют многогранники. Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Каждый из этих многоугольников называется гранью многогранника, стороны и вершины этих многоугольников - соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Двугранные углы между соседними гранями, т.е. гранями, име­ющими общую сторону - ребро многогранника - являются так­же и двугранными умами многогранника. Углы многоугольников - граней выпуклого многоугольника - являются плоскими умами многогранника. Кроме плоских и двугранных углов у выпуклого многогранника имеются еще и многогранные углы. Эти углы образу­ют грани, имеющие общую вершину.

Среди многогранников различают призмы и пирамиды.

Призма - это многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих об­щие стороны с каждым из оснований.

Два равных многоугольника называются основаниями ггризмьг, а параллелограммы - ее боковыми гранями. Боковые грани образуют боковую поверхность призмы. Ребра, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы.

Призму называют п-угольной, если ее основаниями являются я-угольники. На рис. 24.6 изображена четырехугольная призма АВСDА"В"С"D".

Призму называют прямой, если ее боковыми гранями являются прямоугольники (рис. 24.7).

Призму называют правильной , если она прямая, а ее основа­ния - правильные многоугольники.

Четырехугольную призму называют параллелепипедом , если ее основания - параллелограммы.

Параллелепипед называют прямоугольным, если все его грани - прямоугольники.

Диагональ параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. У параллелепипеда четыре диаго­нали.

Доказано, что диагонали параллелепи­педа пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали прямо­угольного параллелепипеда равны.

Пирамида - это многогранник, по­верхность которого состоит из много­угольника - основания пирамиды, и треугольников, имеющих общую верши­ну, называемых боковыми гранями пи­рамиды. Общая вершина этих треуголь­ников называется вершиной пирамиды, ребра, выходящие из вер­шины, - боковыми ребрами пирамиды.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основа­ние, а также длина этого перпендикуляра называется высотой пи­рамиды.

Простейшая пирамида - треугольная или тетраэдр (рис. 24.8). Особенность треугольной пирамиды состоит в том, что любую грань можно рассматривать как основание.

Пирамиду называют правильной, если в основании ее лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Заметим, что следует различать правильный тетраэдр (т.е. тетра­эдр, у которого все ребра равны между собой) и правильную тре­угольную пирамиду (в ее основании лежит правильный треуголь­ник, а боковые ребра равны между собой, но их длина может от­личаться от длины стороны треугольника, который является ос­нованием призмы).

Различают выпуюше и невыпуклые многогранники. Определить вы­пуклый многогранник можно, если воспользоваться понятием вы­пуклого геометрического тела: многогранник называют выпуклым. если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками целиком содержит и соединяющий их отрезок.

Можно определить выпуклый многогранник иначе: многогран­ник называют выпуклым, если он полностью лежит по одну сторо­ну от каждого из ограничивающих его многоугольников.

Данные определения равносильны. Доказательство этого факта не приво­дим.

Все многогранники, которые до сих пор рассматривались, были выпуклыми (куб, параллелепипед, призма, пирамида и др.). Многогранник, изображенный на рис. 24.9, выпуклым не является.

Доказано, что в выпуклом многогран­нике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Рассмотрим несколько выпуклых многогранников (таблица 24.1)

Из этой таблицы следует, что для всех рассмотренных выпук­лых многогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказа­лось, что оно справедливо и для любого выпуклого многогранни­ка. Впервые это свойство было доказано Л.Эйлером и получило название теоремы Эйлера.

Выпуклый многогранник называют правильным, если его гра­нями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Используя свойство выпуклого многогранного угла, можно до­казать, что различных видов правильных многогранников существу­ет не более пяти.

Действительно, если фан и многогранника - правильные тре­угольники, то в одной вершине их может сходиться 3, 4 и 5, так как 60" 3 < 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Если в каждой вершине многофанника сходится три правиль­ных треугольника, то получаем правшш/ый тетраэдр, что в пере­воде с феческого означает «четырехгранник» (рис. 24.10, а).

Если в каждой вершине многогранника сходится четыре пра­вильных треугольника, то получаем октаэдр (рис. 24.10, в). Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников.

Если в каждой вершине многогранника сходится пято правиль­ных треугольников, то получаем икосаэдр (рис. 24.10, г). Его поверх­ность состоит из двадцати правильных треугольников.

Если грани многофанника - квадраты, то в одной вершине их может сходиться только три, так как 90° 3 < 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также гексаэдром (рис. 24.10, б).

Если граани многофанника - правильные пятиугольники, то в одной вершине их может сходиться только фи, так как 108° 3 < 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется додекаэдром (рис. 24.10, д). Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников.

Шестиугольными и более грани многогранника не могут быть, так как даже для шестиугольника 120° 3 = 360°.

В геометрии доказано, что в трехмерном евклидовом простран­стве существует ровно пять различных видов правильных много­гранников’.

Чтобы изготовить модель многогранника, нужно сделать его развертку (точнее развертку его поверхности).

Развертка многогранника - это фигура на плоскости, которая получается, если поверхность многогранника разрезать но некото рым ребрам и развернуть ее так, чтобы все многоугольники, вхо­дящие в эту поверхность, лежали в одной плоскости.

Отметим, что многогранник может иметь несколько различных разверток в зависимости от того, какие ребра мы разрезали. На рисунке 24.11 показаны фиг"уры, которые являются различными развертками правильной четырехугольной пирамиды, т.е. пирами­ды, в основании которой лежит квадрат, а все боковые ребра рав­ны между собой.

Чтобы фигура на плоскости была разверткой выпуклого много­гранника, она должна удовлетворять ряду требований, связанных с особенностями многогранника. Например, фигуры на рис. 24.12 не являются развертками правильной четырехугольной пирамиды: в фигуре, изображенной на рис. 24.12, а, в вершине М сходятся четыре грани, чего не может быть в правильной четырехугольной пирамиде; а в фигуре, изображенной на рис. 24.12, б, боковые ребра А В и ВС не равны.

Вообще, развертку многогранника можно получить путем раз­резания его поверхности не только по ребрам. Пример такой раз­вертки куба приведен на рис. 24.13. Поэтому более точно развертку многогранника можно определить как плоский многоугольник, из которого может быть сделана поверхность этого многогранника без перекрытий.

Тела вращения

Телом вращения называют тело, полученное в результате вра­щения некоторой фигуры (обычно плоской) вокруг прямой. Эту прямую называют осью вращения.

Цилиндр - эго тело, которое получается в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон. При этом указанная сто­рона является осью цилиндра. На рис. 24.14 изображен цилиндр с осью ОО’, полученный в результате вращения прямоугольника АА"О"О вокруг прямой ОО". Точки О и О" - центры оснований цилиндра.

Цилиндр, который получается в результате вращения прямо­угольника вокруг одной из его сторон, называют прямым круго­вым цилиндром, так как его основаниями являются два равных круга, расположенных в параллельных плоскостях так, что отре­зок, соединяющий центры кругов, перпендикулярен этим плос­костям. Боковую поверхность цилиндра образуют отрезки, равные стороне прямоугольника, параллельной оси цилиндра.

Разверткой боковой поверхности пря­мого кругового цилиндра, если ее раз­резать по образующей, является прямо­угольник, одна сторона которого равна длине образующей, а другая - длине ок­ружности основания.

Конус - это тело, которое получает­ся в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

При этом указанный катет неподвижен и называется осью конуса. На рис. 24.15 изображен конус с осью SO, получен­ный в результате вращения прямоуголь­ного треугольника SOA с прямым уг­лом О вокруг катета S0. Точку S называют вершиной конуса, ОА - радиусом его основания.

Конус, который получается в результате вращения прямоуголь­ного треугольника вокруг одного из его катетов, называют пря­мым круговым конусом, гак как его основанием является круг, а вершина проектируется в центр этого круга. Боковую поверхность конуса образуют отрезки, равные гипотенузе треугольника, при вращении которого образуется конус.

Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей, то ее можно «развернуть» на плоскость. Разверткой боковой поверх­ности прямого кругового конуса является круговой сектор с ради­усом, равным длине образующей.

При пересечении цилиндра, конуса или любого другого тела вращения плоскостью, содержагцей ось вращения, получается осевое сечение. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, осевое сече­ние конуса - равнобедренный треугольник.

Шар - это тело, которое получается в результате вращения полукруг а вокруг его диаметра. На рис. 24.16 изображен шар, получен­ный в результате вращения полукруга вокруг диаметра АА". Точку О называют центром шара, а радиус круга является радиусом шара.

Поверхность шара называют сферой. Сферу развернуть на плос­кость нельзя.

Любое сечение шара плоскостью есть круг. Радиус сечения шара будет наибольшим, если плоскость проходит через центр шара. Поэтому сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называют большим кругом шара, а окружность, его ограничиваю­щая, - большой окружностью.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ПЛОСКОСТИ

В отличие от плоских фигур геометрические тела невозможно точно изобразить, например, на листе бумаги. Однако с помощью чертежей на плоскости можно получить достаточно наглядное изоб­ражение пространственных фигур. Для этого используются специ­альные способы изображения таких фигур на плоскости. Одним из них является параллельное проектирование.

Пусть даны плоскость а и пересекающая се прямая а. Возьмем в пространстве произвольную точку Л", не принадлежащую пря­мой а, и проведем через X прямую а", параллельную прямой а (рис. 24.17). Прямая а" пересекает плоскость в некоторой точке X", которая называется параллельной проекцией точки X на плос­кость а.

Если точка А"лежит на прямой а, то се параллельной проекци­ей X" является точка, в которой прямая а пересекает плоскость а.

Если точка X принадлежит плоскости а, то точка X" совпадает с точкой X.

Таким образом, если заданы плоскость а и пересекающая ее прямая а. то каждой точке X пространства можно поставить в соот­ветствие единственную точку А" - параллельную проекцию точки X на плоскость а (при проектировании параллельно прямой а). Плос­кость а называется плоскостью проекций. О прямой а говорят, что она залает направление проектирования - ггри замене прямой а любой другой параллельной ей прямой результат проектирования не изменится. Все прямые, параллельные прямой а, задаюз одно и то же направ­ление проектирования и называются вместе с прямой а проектирующими прямыми.

Проекцией фигуры F называют мно­жество F‘ проекцией всех се точек. Ото­бражение, сопоставляющее каждой точ­ке X фигуры F "ее параллельную проек­цию - точку X" фигуры F", называется параллельным проектированием фигуры F (рис. 24.18).

Параллельной проекцией реального предмета является его тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.

Параллельное проектирование обладает рядом свойств, знание которых необходимо при изображении геометрических тел на плоскости. Сформулируем основные, не приводя их доказательства.

Теорема 24.1. При параллельном проектировании для прямых, не параллельных направлению проектирования, и для лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1) проекция прямой есть прямая, а проекция отрезка - отрезок;

2) проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

3) отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин самих отрезков.

Из этой теоремы вытекает следствие: при параллельном про­ектировании середина отрезка проектируется в середину его про­екции.

При изображении геометрических тел на плоскости необходи­мо следить за выполнением указанных свойств. В остальном оно может быть произвольным. Так, углы и отношения длин непарал­лельных отрезков могут изменяться произвольно, т.е., например, треугольник при параллельном проектировании изображается про­извольным треугольником. Но если треугольник равносторонний, то па проекции его медианы должны соединять вершину треуголь­ника с серединой противоположной стороны.

И еще одно требование необходимо соблюдать при изображе­нии пространственных тел на плоскости - способствовать созда­нию верного представления о них.

Изобразим, например, наклонную призму, основаниями кото­рой являются квадраты.

Построим сначала нижнее основание призмы (можно начинать и с верхнего). По правилам параллельного проектирования огго изобразится произвольным параллелограммом АВСD (рис. 24.19, а). Так как ребра призмы параллельны, строим параллельные пря­мые, проходящие через вершины построенного параллелограмма и откладываем на них равные отрезки АА", ВВ’, СС", DD", длина которых произвольна. Соединив последовательно точки А", В", С", D", получим четырехугольник А"В"С"D", изображающий верхнее основание призмы. Нетрудно доказать, что А"В"С"D" - паралле­лограмм, равный параллелограмму АВСD и, следовательно, мы имеем изображение призмы, основаниями которой являются рав­ные квадраты, а остальные грани - параллелограммы.

Если нужно изобразить прямую призму, основаниями которой являются квадраты, то показать, что боковые ребра этой призмы перпендикулярны основанию, можно так, как это сделано на рис. 24.19, б.

Кроме тог о, чертеж на рис. 24.19, б можно считать изображени­ем правильной призмы, так как ее основанием является квадрат - правильный четырехугольник, а также - прямоугольным парал­лелепипедом, поскольку все его грани - прямоугольники.

Выясним теперь, как изобразить на плоскости пирамиду.

Чтобы изобразить правильную пирамиду, сначала чертят пра­вильный многоугольник, лежащий в основании, и его центр - точку О. Затем проводят вертикальный отрезок OS, изображаю­щий высоту пирамиды. Заметим, что вертикальность отрезка OS обеспечивает большую наглядность рисунка. И наконец, точку S соединяют со всеми вершинами основания.

Изобразим, например, правильную пирамиду, основанием ко­торой является правильный шестиугольник.

Чтобы верно изобразить при параллельном проектировании правильный шестиугольник, надо обратить внимание на следующее. Пусть АВСDЕF - правильный шестиугольник. Тогда ВСЕF - прямоугольник (рис. 24.20) и, значит, при параллельном проектировании он изобра­зится произвольным параллелограммом В"С"Е"F". Так как диагональ АD проходит через точку О - центр многоугольника АВСDЕF и параллельна отрезкам. ВС и ЕF и АО= ОD, то при параллельном проектировании она изобразится произвольным от­резком А"D", проходящим через точку О" параллельно В"С" и Е"F" и, кроме того, А"О" = О"D".

Таким образом, последовательность построения основания ше­стиугольной пирамиды такова (рис. 24.21):

§ изображают произвольный параллелограмм В"С"Е"F" и его диагонали; отмечают точку их пересечения O";

§ через точку О" проводят прямую, параллельную В’С" (или Е"F’);

§ на построенной прямой выбирают произвольную точку А" и отмечают точку D" такую, что О"D" = А"О", и соединяют точку А" с точками В" и F ", а точку D" - с точками С" и Е".

Чтобы завершить построение пирамиды, проводят вертикаль­ный отрезок ОS (его длина выбирается произвольно) и соединя­ют точку S со всеми вершинами основания.

При параллельном проектировании шар изображается в виде круга того же радиуса. Чтобы сделать изображение шара более на­глядным, рисуют проекцию какой-нибудь большой окружности, плоскость которой не перпендикулярна плоскости проекции. Эта проекция будет эллипсом. Центр шара изобразится центром этого эллипса (рис. 24.22). Теперь можно найти соответствующие полюсы N и S при условии, что отрезок, их соединяющий, перпендикуля­рен плоскости экватора. Для этого через точку О проводим пря­мую, перпендикулярную АВ и отмечаем точку С - пересечение этой прямой с эллипсом; затем через точку С проводим касатель­ную к эллипсу, изображающему экватор. Доказано, что расстоя­ние СМ равно расстоянию от центра шара до каждого из полюсов. Поэтому, отложив отрезки ОN и OS, равные СМ, получим полю­сы N и S.

Рассмотрим один из приемов построения эллипса (он основан на преобразовании плоскости, которое называется сжатием): строят окружность с диаметром и проводят хорды, перпендикулярные диаметру (рис. 24.23). Половину каждой из хорд делят пополам и полученные точки соединяют плавной кривой. Эта кривая - эл­липс, большой осью которого является отрезок АВ, а центром - точка О.

Этот прием мЬжно использовать, изображая на плоскости пря­мой круговой цилиндр (рис. 24.24) и прямой круговой конус (рис. 24.25).

Прямой круговой конус изображают так. Сначала строят эл­липс - основание, затем находят центр основания - точку О и перпендикулярно проводят отрезок OS, который изображает вы­соту конуса. Из точки S проводят к эллипсу касательные (это дела­ют «на глаз», прикладывая линейку) и выделяют отрезки SС и SD этих прямых от точки S до точек касания С и D. Заметим, что отрезок СD не совпадает с диаметром основания конуса.

Многогранник - тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника.По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани,называется диагональю многогранника.

История открытия многогранника уходит корнями в древние времена. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне .

Многогранник является пространственной фигурой (пространственным телом).Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранники изучаются в разделе стереометрия. Раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства пространственных фигур. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять .

Примерами многогранников являются:

Куб - многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов.У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.Частный случай параллелепипеда и призмы. Куб имеет 12 ребер, 6 граней, 8 вершин .

Параллелепипед - многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов.Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Диагональю параллелепипеда, как и многогранника, вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани .

Прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, у которого грани- прямоугольники.Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами. У прямоугольного параллелепипеда три измерения .

Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники .

Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям .

Призма - многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.Многоугольники, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях. Боковые рёбра призмы равны и параллельны. Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы .

Прямая призма - называется, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.Боковыми гранями являются прямоугольники.Боковое ребро прямой призмы является её высотой .

Правильная призма - прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники .

Пирамида - многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

Правильная пирамида - пирамида, в основании которой правильный многоугольник и все боковые рёбра которой равны . Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой .

Тела Платона - многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.

Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.

Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково. К ним относятся:

Тетраэдр(огонь) - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.

У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра.Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников .

Октаэдр(воздух) - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.Правильный октаэдр двойственен кубу. Он является полным усечением тетраэдра. Правильный октаэдр является квадратной двойственной пирамидой в любом из трёх ортогональных направлений. Он также является треугольной антипризмой в любом из четырёх направлений.Октаэдр - трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр .

Гексаэдр(земля) - правильный шестигранник. Это куб, состоящий из шести равных квадратов .

Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра) .

Икосаэдр(вода) - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины. Число ребер равно 30, число вершин - 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм .

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторонуот плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр - выпуклые многогранники.Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Легко можно доказать, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360° .

Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В - количество вершин многогранника, Г - количество граней, Р - количество рёбер.

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

Так же многогранник делится на правильный и не правильный. Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Правильные многогранники известны с древнейших времён.В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками.Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Существует и полуправильные многогранники - в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся, архимедовы тела.

Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) - это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у не звёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в рёбрах (при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами).Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам .

Правильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые (конгруэнтные) правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников (Платоновых тел), данные многогранники не являются выпуклыми телами .

В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера - Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера - Пуансо .

Полуправильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С. П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон .

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки - это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.

Свойства многогранников:

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти .

Не все перечисленные виды многогранников изучаются и применяются в начальной школе. Чаще всего ученики на уроках математики знакомятся с кубом, многоугольником, пирамидой, цилиндром, параллелепипедом. Примером авторов учебников являются ИстоминаА.И. 3 класс, Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. 3 класс, Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. 3 класс; так же начинают, знакомятся во 2 классе это пример учебников Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н. 2 класс.

Таким образом, рассмотрели понятия многогранника и его свойства. Перечислили виды многогранника. Ознакомились с историей открытия многогранника. Установили, что многогранники имеют большое значение в природе и для человека. Так, например, многогранники применяются в конструировании.