Варианты решения уравнений с параметром и модулем. Урок. «Решение уравнений с модулем и параметром Системы с параметрами и модулем
21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582 < 0.
Ответ: 1; 2.
§6. Решение уравнений с модулями и параметрами
Рассмотрим несколько уравнений, в которых переменная x стоит под знаком модуля. Напомним, что
x , если x ≥ 0,
x = − x , если x < 0.
Пример 1. Решите уравнение:
а) x − 2 = 3; б) x + 1 − 2x − 3 = 1;
x + 2 |
X =1; г) x 2 − |
6; д) 6x 2 − |
x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x − 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) Если модуль числа равен 3, то это число равно либо 3, либо (− 3 ) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
т. е. x − 2 = 3, x = 5 или x − 2 = − 3, x = − 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Из определения модуля следует, что |
x + 1 |
X + 1, при x + 1 ≥ 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||
т. е. при x ≥ − 1 и |
x + 1 |
= − x − 1 при x < − 1. Выражение |
2x − 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 x − 3, если x ≥ 3 |
и равно − 2 x + 3, если x < 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x < −1 |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
|||||||||||||||||||||||||||||
− x −1 − |
(− 2 x + 3 ) = 1, из которого следует, что |
x = 5. Но число 5 не |
||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяет условию x < − 1, следовательно, |
при x < − 1 данное |
|||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение решений не имеет. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 ≤ x < |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
|||||||||||||||||||||||||||||
x + 1− (2x + 3) = 1, из которого следует, что x = 1; |
число 1 удовлетворя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ет условию − 1 ≤ x < |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
x ≥ |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
||||||||||||||||||
x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, которое имеет решение x = 3. А так как число 3 |
|||||||||||||||||||||
удовлетворяет условию x ≥ |
то оно является решением уравнения. |
||||||||||||||||||||
x + 2 |
|||||||||||||||||||||
в) Если числитель и знаменатель дроби |
имеют одинаковые |
||||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
знаки, то дробь положительна, а если разные – то отрицательна, т. е. |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
x + 2 |
Если x ≤ − 2, если x > 1, |
|||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
Если − 2 < x < 1. |
||||||||||||||||||||
−1 |
|||||||||||||||||||||
При x ≤ − 2 |
ипри x > 1 |
||||||||||||||||||||
исходноеуравнениеравносильноуравнению |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
X =1, x +2 |
X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0. |
|||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
Последнее уравнение не имеет решений. |
|||||||||||||||||||||
При − 2 < x < 1 данное уравнение равносильно уравнению |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0. |
||||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
Найдём корни этого уравнения: |
|||||||||||||||||||||
x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13 . |
|||||||||||||||||||||
Неравенствам |
− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13 |
Следова- |
|||||||||||||||||||
тельно, это число является решением уравнения. |
|||||||||||||||||||||
x ≥ 0 данное |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
||||||||||||||||||
x 2 − x −6 = 0, |
корнями которого являются числа 3 и – 2. Число 3 |
||||||||||||||||||||
удовлетворяет условию x > 0, |
а число – 2 не удовлетворяет этому ус- |
ловию, следовательно, только число 3 является решением исходного
x < 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения |
||||||||
x ≥ − 1 данное |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
|||||
6 x 2 − x − 1 = 0, находим его корни: x = 1 ± |
25 , x = 1 , x |
= −1 . |
||||||
Оба корня удовлетворяют условию x ≥ − 1, |
следовательно, они яв- |
|||||||
ляются решениями данного уравнения. При |
x < − 1 данное уравнение |
|||||||
равносильно уравнению 6 x 2 + x + 1 = 0, которое не имеет решений. |
||||||||
Пусть заданы выражения f (x , a ) и g (x , a ) , |
зависящие от перемен- |
|||||||
ных x |
и a . |
Тогда уравнение |
f (x, a) = g(x, a) |
относительно перемен- |
ной x называется уравнением с параметром a . Решить уравнение с параметром – это значит при любом допустимом значении параметра найти все решения данного уравнения.
Пример 2. Решитеуравнениепривсехдопустимыхзначенияхпараметра a :
а) ax 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; б) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;
в) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.
x 2 = |
4a 2 + 3 |
Выражение 4 a 2 |
3 > 0 для любого a ; при a > − 2 име- |
|||||
a + 2 |
||||||||
ем два решения: x = |
4a 2 + 3 |
и x = − |
4a 2 |
Если |
a + 2 < 0, то |
|||
a + 2 |
a + 2 |
|||||||
выражение 4 a 2 + 3 < 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2
Ответ: x = ± |
4a 2 + 3 |
При a > − 2; |
при a ≤ − 2 решений нет. |
|
a + 2 |
||||
то x 2 = a + 3. Если a + 3 = 0, |
||||
б) Если a = 3, то x . Если a ≠ 3, |
||||
т.е. если a = − 3, |
то уравнение имеет единственное решение x = 0. Ес- |
ли a < − 3, то уравнение не имеет решений. Если a > − 3 и a ≠ 3, то уравнение имеет два решения: x 1 = a + 3 и x 2 = − a + 3.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения |
||||||||||||||||||
a = 1 данное уравнение принимает вид |
4x − 1 = 0, |
|||||||||||||||||
x = 1 |
является его решением. При |
a ≠ 1 данное уравнение является |
||||||||||||||||
квадратным, его дискриминант D 1 равен |
||||||||||||||||||
(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1. |
||||||||||||||||||
Если 5 a − 1 < 0, т.е. a < 1 , |
то данное уравнение не имеет решений. |
|||||||||||||||||
Если a = |
то уравнение имеет единственное решение |
|||||||||||||||||
a + 1 |
||||||||||||||||||
x = − |
||||||||||||||||||
a − 1 |
−1 |
|||||||||||||||||
Если a > |
и a ≠ 1, |
то данное уравнение имеет два решения: |
||||||||||||||||
x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 . |
||||||||||||||||||
a − 1 |
−(a +1 ) ± |
|||||||||||||||||
1 при |
a = 1; x = 3 |
при a |
; x = |
5a − 1 |
||||||||||||||
a − 1 |
||||||||||||||||||
при a > 1 |
и a ≠ 1; при a < 1 |
уравнение не имеет решений. |
||||||||||||||||
§7. Решение систем уравнений. Решение задач, сводящихся к квадратным уравнениям
В этом параграфе рассмотрим системы, которые содержат уравнения второй степени.
Пример 1. Решить систему уравнений
2x + 3y = 8,
xy = 2.
В этой системе уравнение 2 x + 3 y = 8 является уравнением первой степени, а уравнение xy = 2 – второй. Решим эту систему методом
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
подстановки. Из первого уравнения системы выразим x через y и подставим это выражение для x во второе уравнение системы:
8 − 3y |
4 − |
||||||
y , 4 |
y y = 2. |
||||||
Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению
8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.
Находим его корни: |
|||||||||||||
4 ± 4 |
4 ± 2 |
Y = 2, y |
|||||||||||
Из условия x = 4 − |
получим x = 1, x |
||||||||||||
Ответ: (1;2 ) и |
|||||||||||||
Пример 2. Решите систему уравнений:
x 2 + y 2 = 41,
xy = 20.
Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим с первым
уравнением системы: |
x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2, |
(x + y ) 2 = 81, откуда |
||||
следует, что x + y = 9 или x + y = − 9. |
||||||
Если x + y = 9, то |
x = 9 − y . Подставим это выражение для x во |
|||||
второе уравнение системы: |
||||||
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0, |
||||||
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5, y |
4, x = 4, x = 5. |
|||||
Из условия x + y = − 9 получим решения (− 4; − 5) и (− 5; − 4 ) . |
||||||
Ответ: (± 4;± 5) , (± 5;± 4) . |
||||||
Пример 3. Решите систему уравнений: |
||||||
y = 1, |
||||||
x − |
||||||
x − y |
Запишем второе уравнение системы в виде
( x − y )( x + y ) = 5.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
Используя уравнение x − y = 1, получаем: x + y = 5. Таким образом, получаем систему уравнений, равносильную дан-
x − |
y = 1, |
|
y = 5. |
||
Сложим эти уравнения, получим: 2 x = 6, |
x = 3, x = 9. |
||||||
Подставляя значение x = 9 в первое уравнение |
системы, получа- |
||||||
ем 3 − y = 1, откуда следует, что y = 4. |
|||||||
Ответ: (9;4 ) . |
(x + y)(x |
Y −4 ) = −4, |
|||||
Пример 4. Решите систему уравнений: (x 2 + y 2 ) xy = − 160. |
|||||||
xy = v; |
|||||||
Введём новые переменные |
x + y = u |
||||||
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v, |
|||||||
u (u −4 ) = −4, |
|||||||
система приводится к виду (u 2 − 2 v ) v = − 160. |
|||||||
Решаем уравнение: |
|||||||
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2. |
|||||||
Подставляем это значение для u в уравнение: |
|||||||
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v ) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0, |
|||||||
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1± 9, v = 10, v |
= −8. |
||||||
Решаем две системы уравнений: |
|||||||
x + y = 2, |
|||||||
x + y = 2, |
|||||||
и |
|||||||
xy = 10 |
xy = − 8. |
||||||
Обесистемырешаемметодомподстановки. Дляпервойсистемыимеем: |
|||||||
x = 2 − y , (2 − y ) y = 10, y 2 − 2 y + 10 = 0. |
Полученное квадратное уравнение не имеет решений. Для второй системы имеем: x = 2 − y , (2 − y ) y = − 8, y 2 − 2 y − 8 = 0.
y = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y 1 = 4, y 2 = − 2. Тогда x 1 = − 2 и x 2 = 4. Ответ: (− 2;4 ) и (4; − 2 ) .
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
умноженное на 3, получим:
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
Пример 5. Решите систему уравнений:
x2 + 4 xy = 3,
y2 + 3 xy = 2.
Из первого уравнения умноженного на 2, вычтем второе уравнение,
2 x2 − xy − 3 y2 = 0.
Если y = 0, тогда и x = 0, но пара чисел (0;0 ) не является решением исходной системы. Разделим в полученном уравнении обе части ра-
венства на y 2 , |
||||||||||||||||||||||||
1 ± 5 , x = 2 y и x = − y. |
||||||||||||||||||||||||
−3 |
= 0, |
|||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||
Подставляем |
значение |
x = |
3y |
первое уравнение |
||||||||||||||||||||
9 y 2 + 6 y 2 = 3, 11y 2 = 4, y = |
, x = |
, x = − |
||||||||||||||||||||||
Подставляем значение x = − y в первое уравнение системы: y 2 − 4 y 2 = 3, − 3 y 2 = 3.
Решений нет.
Пример 9. Найтивсезначенияпараметра a , прикоторыхсистемауравнений
x2 + (y − 2 ) 2 = 1,
y = ax2 .
имеет хотя бы одно решение.
Данная система называется системой с параметром. Их можно решить аналитическим методом, т.е. с помощью формул, а можно применить так называемый графический метод.
Заметим, что первое уравнение задаёт окружность с центром в точке (0;2 ) с радиусом 1. Второе уравнение при a ≠ 0 задаёт параболу с вершиной в начале координат.
Если a 2
Вслучаеа) параболакасаетсяокружности. Извторогоуравнениясистемыследу-
ет, что x 2 = y / a , |
подставляем это значения для |
x2 |
в первоеуравнение: |
||||||||||
1 |
|||||||||||||
+(y −2 ) |
= 1, |
+ y |
− 4 y + 4 = 1, y |
4 − a y + 3 |
= 0. |
||||||||
В случае касания в силу симметрии существует единственное значение y , поэтому дискриминант полученного уравнения должен быть
равен 0. Так как ордината y точки касания положительная и т.к.
y = 2 |
− a |
получаем, |
|||||||||||||||
> 0; D |
1 2 |
||||||||||||||||
4 − a |
4 − a |
− 12 = 0, |
4 − a |
> 0 |
|||||||||||||
получаем: 4 |
= 2 |
= 4 −2 |
|||||||||||||||
a = |
4 + 2 3 |
4 + 2 3 |
2 + |
||||||||||||||
(4 − 2 3)(4 + 2 3) = |
16 − 12 = |
||||||||||||||||
4 − 2 3 |
Если a > 2 + 2 3 , то парабола будет пересекать окружность в 4 точ-
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если
a ≥ 2 + 2 3 .
Пример 10. Сумма квадратов цифр некоторого натурального двузначного числа на 9 больше удвоенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 4 и в остатке 3. Найти это двузначное число.
Пусть двузначное число равно 10 a + b , где a и b – цифры этого числа. Тогда из первого условия задачи получаем: a 2 + b 2 = 9 + 2 ab , а из второго условия получаем: 10 a + b = 4 (a + b ) + 3.
a2 + b2 = 9 + 2 ab,
Решаем систему уравнений: 6 a − 3 b = 3.
Из второго уравнения системы получаем
6a − 3b = 3, 2a − b = 1, b = 2a − 1.
Подставляемэтозначениедля b впервоеуравнениесистемы:
a 2 + (2a − 1) 2 = 9 + 2a (2a − 1) , 5a 2 − 4a + 1 = 9 + 4a 2 − 2a ,
a 2 − 2a − 8 = 0, D 1 = 1 + 8 = 9, a = 1 ± 3, a 1 = 4, a 2 = − 2 < 0, b 1 = 7.
Ответ: 47.
Пример 11. После смешения двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой 20 г, безводного йодистого калия, получили 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на 15% больше концентрации второго.
Обозначим через x % – концентрацию второго раствора, а через (x + 15 ) % – концентрацию первого раствора.
(x + 15 )% |
x % |
|||
I раствор |
II раствор |
В первом растворе 48 г составляет (x + 15 ) % от веса всего раствора,
поэтому вес раствора равен x 48 + 15 100. Во втором растворе 20 г со-
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
Уравнения с параметрами
Математика – единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос. Альберт Эйнштейн
№ 1 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x² + (a + 5)² = |x + a + 5| + |x – a -5| имеет ровно три корня.
РЕШЕНИЕ Уравнение не изменится, если заменить x числом –x . Следовательно, уравнение имеет чётное число ненулевых решений. Значит, три решения уравнения имеет только тогда, когда одно из них 0. Поставим x = 0 .
Получим: (a + 5)² = 2|a + 5|
Откуда a + 5 = 0 или |a + 5| = 2.
Если a + 5 = 0, уравнение принимает вид x² = 2|x| и имеет ровно три решения: -2, 0, 2. Из a + 5 = 0 получаем: a = -5. Если |a +5| = 2, уравнение принимает вид x² + 4 = |x + 2| + |x – 2|.
2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5. " width="640"
При -2 ≤ x ≤ 2 уравнение имеет единственное решение 0. При x 2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5.
№ 2
Найдите все значения параметра a, при котором уравнение f(x) = |2a + 5|x
имеет 6 решений, где f -- чётная периодическая функция, с периодом Т = 2, определённая на всей числовой прямой, причём f(x) = ax², если 0≤x≤1 .
РЕШЕНИЕ Если а = 0, функция f(x) тождественно равна нулю, и её график имеет с прямой y = 5x единственную общую точку.
0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен. " width="640"
Пусть а = 0, (рис. 1). Решение х = 0 есть при всех а. Нужно ещё ровно пять решений. Единственный возможный случай показан на рисунке: прямая проходит через точку (5 ; а). Составим уравнение |2a + 5| ∙ 5 = a. Так как а 0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен.
№ 3 Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) = x² - 3|x - a²| - 5x имеет более двух точек экстремума. РЕШЕНИЕ При х ≥ а² f (x) = x² - 8x + 3a², поэтому график функции есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х = 4.
Обе параболы проходят через точку (а² ; f(a²)). Функция y = f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1): 1
Ответ: -2
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Пирогова Татьяна Николаевна – учитель высшей категории
МАОУ СОШ № 10 г. Таганрога.
«Решение уравнений с модулем и параметром»
10 класс, занятие элективного курса «Свойства функции».
Цели занятия.
повторить различные способы решения уравнений с модулями;
провести исследование зависимости числа корней от данных уравнения;
развивать внимание, память, умение анализировать при проведении исследовательской работы и обобщении ее результатов.
План занятия.
Мотивация.
Актуализация знаний.
Решение линейного уравнения с модулем разными способами.
Решение уравнений содержащих модуль под модулем.
Исследовательская работа по определению зависимости количества корней уравнения
| | х| - а |= в от значений а и в.
Решение уравнений с двумя модулями и параметром.
Рефлексия.
Ход занятия.
Мотивация. Как говорили древние философы «Мудрость – это любовь к знаниям, а любовь – это мера всех вещей». «Мера» на латинском языке -«modulus», от него и произошло слово «модуль». И сегодня мы с вами поработаем с уравнениями, содержащими модуль. Надеюсь, у нас все получится, и в конце занятия мы с вами станем мудрее.
Актуализация знаний. Итак, вспомним, что мы уже знаем о модуле.
Определение модуля. Модулем действительного числа – называется само число, если оно неотрицательно и противоположное ему число, если оно отрицательно.
Геометрический смысл модуля. Модуль действительного числа а равен расстоянию от начала отсчета до точки с координатой а на числовой прямой.
–a 0 a
|– a | = | a | | a | x
Геометрический смысл модуля разности величин. Модуль разности величин | а – в | - это расстояние между точками с координатами а и в на числовой прямой,
Т.е. длина отрезка [ а в ]
1) Еслиa < b 2) Еслиa > b
a b b a
S = b – a S = a – b
3) Если a = b , то S = a – b = b – a = 0
Основные свойства модуля
Модуль числа есть число неотрицательное, т.е. |x | ≥ 0 для любого x
Модули противоположных чисел равны, т.е. |x | = |–x | для любого x
Квадрат модуля равен квадрату подмодульного выражения, т.е. |x | 2 =x 2 для любого x
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей сомножителей, т.е.|a b | = |a | · |b |
5. Если знаменатель дроби отличен от нуля, то модуль дроби равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя, т.е. при b ≠ 0
6. Для равенства любых чисел a и b справедливы неравенства :
| |a | – |b | | ≤ |a + b | ≤ |a | + |b |
| |a | – |b | | ≤ |a – b | ≤ |a | + |b |
График модуля у = | х | - прямой угол с вершиной в начале координат, стороны которого являются биссектрисами 1 и 2 квадрантов.
Как построить графики функций? у = | х – а |, у = | х | + в , у = | х – а | + в, у = || х| – а |
Пример. Решить уравнение 3
x
.
Способ 1. Метод раскрытия модулей по промежуткам.
5
5
,
1
3
2
,
2
1
1
,
2
3
2
,
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Способ 2. Непосредственное раскрытие модуля.
Если модуль числа равен 3, то это число 3 или -3.
.
1
,
5
3
2
,
3
2
3
2
2
1
x
x
x
x
x
Способ 3 . Использование геометрического смысла модуля.
Необходимо найти на числовой оси такие значения х, которые удалены от 2 на расстояние, равное 3.
.
5
,
1
2
1
x
x
5
-1
2
3
3
Способ 4. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
Здесь используется свойство модуля и то, что обе части уравнения неотрицательные.
.
5
,
1
0
5
4
9
2
9
2
3
2
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
Способ 5. Графическое решение уравнения 3
x
Обозначим
x
x
f
x
f
Построим графики функций и :
2 -1 0 1 2 3 4 5
2 -1 0 1 2 3 4 5
Абсциссы точек пересечения графиков дадут корни и 5
x
Самостоятельная работа
решите уравнения:
| х – 1| = 3
| х – 5| = 3
| х –3| = 3
| х + 3| = 3
| х + 5| = 3
(-2; 4)
(2; 8)
(0; 6)
(-6; 0)
(-8;-2)
А теперь добавьте в условия еще один модуль и решите уравнения:
| | х| – 1| = 3
| | х| –5| = 3
| | х | – 3| = 3
| | х | + 3| = 3
| | х | + 5| = 3
( )
( )
(0)
(нет корней)
Итак, сколько корней может иметь уравнение вида | | х | – а |= в? От чего это зависит?
Исследовательская работа по теме
«Определение зависимости количества корней уравнения | | х | – а |= в от а и в »
Проведем работу по группам, с использованием аналитического, графического и геометрического способов решения.
Определим, при каких условиях данное уравнение имеет 1 корень, 2 корня, 3 корня, 4 корня и не имеет корней.
1 группа (по определению)
2 группа (используя геометрический смысл модуля) -в +в
а-в а а+в
3 группа (используя графики функций)
, а > 0
, а < 0
1 группа
2 группа
3 группа
Нет корней
в < 0 или в ≥ 0
в + а < 0
в < 0 или в ≥ 0
а + в < 0
в < 0 или в ≥ 0
в < – а
ровно один корень
в > 0 и в + а = 0
в > 0 и в + а = 0
в > 0 и в = – а
ровно два корня
в > 0 и в + а > 0
– в + а < 0
в > 0 и в + а > 0
– в + а < 0
в > 0 и в > | а |
ровно три корня
в > 0 и – в + а = 0
в > 0 и – в + а = 0
в > 0 и в = а
ровно четыре корня
в > 0 и – в + а >0
в > 0 и – в + а >0
в > 0 и в < а
Сравните результаты, сделайте общий вывод и составьте общую схему.
Конечно, необязательно эту схему запоминать . Главное в проведенном нами исследовании было – увидеть эту зависимость, используя разные методы , и теперь повторить свои рассуждения при решении таких уравнений нам будет уже несложно.
Ведь решение задания с параметром всегда подразумевает некоторое исследование.
Решение уравнений с двумя модулями и параметром.
1. Найти значения р, х| – р – 3| = 7 имеет ровно один корень.
Решение: | | х| – (р + 3)| = 7
р +3= -7, р = -10. Или геометрически
р + 3 – 7 р + 3 р + 3+7 р + 3+7=0, р = -10
7 7 по схеме уравнение такого вида имеет ровно один корень, если в = – а, где в =7, а = р +3
2. Найти значения р, при каждом из которых уравнение | | х| – р – 6| = 11 имеет ровно два корня.
Решение: | | х| – (р + 6)| = 11 геометрически
р + 6 – 11 р + 6 р + 6+11 р + 6-11<0, р < 5, р + 6+11>0, р > -17
11 11
по схеме уравнение такого вида имеет ровно два корня, если в + а > 0 и – в + а < 0, где в =11, а = р +6. -17< р < 5.
3. Найти значения
р,
при каждом из которых уравнение | |
х|
– 4
р
р,
5.
Преобразуем уравнение к виду:
| | х –4 | – 3|= – 2 р .
По схеме уравнение такого вида имеет три корня,
если –2 р =3>0,
т.е. р = –1,5.
Что мы сегодня делали?
Что делали?
Повторяли
Решали
Исследовали
Обобщали
Доказывали
Строили
Модуль
параметр
Что повторили?
Определение
Геометрический смысл
Свойства
Графики
Уравнения
Разные методы
Домашнее задание.
Слайд 2
.
Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения Цель урока.
Слайд 3
Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a, если a>0, число -a, если a 0 ׀ a ׀={ 0, если a=0 -a, если a 0) равносильно двойному неравенству -a 0. Неравенство ׀ х׀>a, (если a>0) равносильно двум неравенствам - Неравенство׀ х׀>a, (если a
Слайд 4
Решить уравнение с параметрами - значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. а) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров; б) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнения. Повторение важнейшего теоретического материала по темам «Решение уравнений с параметрами»
Слайд 5
1. Решить уравнение׀ х-2 ׀ =5; Ответ 7;-3 ׀ х-2 ׀ =-5; Ответ решения нет ׀ х-2 ׀ =х+5; ; Ответ решения нет; 1,5 ׀ х-2 ׀ = ׀ х+5 ׀ ; Ответ решения нет; -1,5; решения нет; -1,5; Устные упражнения.
Слайд 6
2. Решить уравнениеах=1; Ответ. Если a=0, то нет решения;если a=0, тох=1/ a 1.3. Решить уравнение (а²-1) х = а+ 1. 1) а = 1; тогда уравнение принимает вид Ох = 2 и не имеет решения 2) а = 1; получаем Ох = О, и очевидно х - любое. 1 3) если а =± 1 ,то х = -- а-1 Ответ. Если а=-1 , то х- любое; если а=1, то нет решения 1 если а =± 1 ,то х= -- а-1
Слайд 7
2.Решить уравнение׀ х+3 ׀ + ׀ у -2 ׀= 4; . 2 3. 4. 1
Слайд 8
3 3 2 x y 0 1 Ответ: (-3; 2).
Слайд 9
2. Решить уравнениеaх=1;
Ответ. Если a=0, то нет решения; если a=0, то х=1/ a 1.3. Решить уравнение (а²-1) х = а+ 1. 1) а = 1; тогда уравнение принимает вид Ох = 2 и не имеет решения 2) а = 1; получаем Ох = О, и очевидно х - любое. 1 3) если а =± 1 ,то х = -- а-1 Ответ. Если а=-1 , то х- любое; если а=1, то нет решения 1 если а =± 1 ,то х= -- а-1
Слайд 10
3 Построить график функции у= ׀х׀, у= ׀х-2 ׀, у = ׀ х+5I , у = ׀х-2 ׀+3, у = ׀ х+3 ׀-2
y x У=IxI 1 2 -3 -4 -1 1 -2 2 3 0 -5 4 5 6 -1 -2 Y=Ix+3I-2 Y=Ix-2I Y=Ix+5I Y=Ix-2I +3
Занятие «Решение линейных уравнений с параметром, содержащих модуль».
Цель: сформировать умение решать линейные уравнения с параметром, содержащие модуль; развивать логическое мышление и навыки самостоятельной работы.
Оборудование: презентация.
Ход урока.
1.Для актуализации знаний учащихся необходимо повторить понятие модуля и решить несколько уравнений с модулем: |х|=3; |х|= - 5; |х|=0.
Затем предложить учащимся ответить на вопрос: Сколько корней может иметь уравнение с модулем и от чего это зависит?
Вывод содержится на 2 слайде. Его записывают в тетради.
Разбор решения уравнения |х - 2 |= 3
Фронтальная работа с классом: решение уравнения 1. |х + 4 |= 0.
Самостоятельное решение уравнений:
2. |х - 3 |= 5; 3. |4 - х |= 7; 4. |5 - х |= - 9. Проверка.
Разбор решения задание 1 :
Определите число корней уравнения
||х| +5 - а |= 2. (слайд 3)
Комментарии учителя: это уравнение с параметром, т.е. с переменной а. В зависимости от значения этой переменной будет изменяться вид уравнения. А значит, и число корней уравнения зависит от а.
Предложить учащимся ответить на вопрос задания «Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| +5 - а |= 2 имеет ровно 3 корня. (Если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 7. (слайд 4)
Решить у доски задание 2: Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| - 3 + а |= 4 имеет ровно 3 корня. Ответ: - 1.
Самостоятельная работа.
Задание
3
.Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||х| -4+ а |= 3 имеет ровно 1 корень. Ответ: 7.
Задание 4 . При каких значениях а уравнение
|а - 5 - |х||= 3 имеет нечетное число корней (если значений а более одного, то в бланке ответов запишите их сумму). Ответ: 10.
Предложить учащимся разобрать способ решения задания, используя свойство четности функции и графический способ.
7. Итог урока. Над чем вы сегодня работали на уроке? Было ли для вас что-то нового и познавательного? Над чем бы вы хотели поработать на следующем уроке?