Ещё одно свойство совершенных чисел. Что такое совершенные числа в математике

Древние греки первыми установили, что число «6» равно сумме всех делителей, исключая само это число: 6=1+2+3. Из-за этого свойства они назвали число «6» совершенным и поставили вопрос, сколько всего существует совершенных чисел?

Легко было обнаружено проверкой второе совершенное число «28»: 1+2+4+7+14=28. Затем Эвклид доказав что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения 2 n-1 (2 n -1), где 2 n -1есть простое число, является совершенным числом. В случае n=2 и n=3, числа 2 2 -1=3 и 2 3 -1=7 простые, поэтому 2 1 (2 2 - 1) =6 и 2 2 (2 3 - 1) =28 - совершенные числа. Формула помогла обнаружить еще два совершенных числа (n=5, n=7).

Но отыскание дальнейших совершенных чисел этим способом казалось делом трудным. Николай Геразский (I век н. э.) писал: Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, в то время как совершенных чисел немного.

В течение столетий авторы, писавшие о совершенных числах, интересовались больше суевериями и фантазиями, связанными с этими числами, чем их математической природой. Например, в диалогах Платона число «6» занимает особое место. У римлян на пирах самым почетным местом было шестое.

В Риме при подземных работах в 1917 году была обнаружена постройка - общий зал с кельями вокруг него. Оказалось, что это здание - помещение неопифагорийской академии, в которой было 28 членов.

По религиозным преданиям мир был создан за 6 дней. Английский богослов VIII века Алкуин учил, что человечество, происшедшее после потопа от 8 лиц, бывших в ковчеге Ноя, менее совершенно, чем до потопа, так как «8» - число несовершенное. В XII веке церковники рекомендовали изучение совершенных чисел для спасения души.

Если первые четыре совершенных числа были известны в глубокой древности, то пятое совершенное число (n=13, 2 12 (2 13 -1) =33 550 336) было обнаружено лишь в XV веке, более чем через полторы тысячи лет после Евклида.

В 1644 году французский математик Марин Мерсенн объявил, не приводя доказательства, что первыми одиннадцатью совершенными числами вида 2 n-1 (2 n -1) являются числа, отвечающие следующим значениям n: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Математикам того времени было очевидно, что Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением простоту чисел 2 n -1 при всех указанных значениях n. Непосредственно удалось проверить только первые три из указанных Мерсенном шести новых совершенных чисел. Они действительно оказались совершенными. Вот эти числа: 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128

В 1876 году французский математик Э. Люка указал метод, позволяющий проверить простоту числа без выполнения деления его на всевозможные простые делители. Он же установил, что число 2 127 -1 является простым числом. Этот результат был правильно предсказан Мерсенном, однако в других случаях он ошибся. Было установлено, что показатели n = 67 и n = 257 вопреки указанию Мерсенна не дают совершенных чисел, но их дают не указанные Мерсенном показатели 61, 89 и 107.

P. S. О чем еще говорят британские ученые: о том, что знание теории совершенных чисел может даже помочь на ОГЭ по математике онлайн , не говоря уж о простых математических экзаменах.

(т. е. всех делителей, отличных от самого́ числа).

Первое совершенное число - 6 (1 + 2 + 3 = 6 ), следующее - 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 ). По мере того как возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число - 496, четвёртое - 8 128, пятое - 33 550 336, шестое - 8 589 869 056.

История изучения

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что совершает оборот вокруг каждые 28 дней, и утверждавшими, что сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Совершенные числа были предметом пристального внимания пифагорейцев, хотя в их время были известны только 2 первых совершенных числа. В частности, заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме последовательных натуральных чисел, начиная с единицы (т. е. являются ):

Кроме того, одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2\cdot2 , 8=2\cdot2\cdot2 , 16=2\cdot2\cdot2\cdot2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2 n , где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа, т. е. все степени двойки :

Так как каждому чётному совершенному числу соответствует некоторое простое число Мерсенна (и наоборот), то открытие новых чётных совершенных чисел равносильно открытию новых простых чисел Мерсенна, распределённым поиском которых занимается проект . На данный момент (ноябрь 2006) известно 44 простых числа Мерсенна, а значит, и 44 чётных совершенных числа.

Собственный делитель натурального числа - это любой делитель, кроме самого этого числа. Если число равно сумме своих собственных делителей, то оно называется совершенным . Так, 6 = 3 + 2 + 1 - это наименьшее из всех совершенных чисел (1 не в счет), 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 - это еще одно такое число.

Совершенные числа были известны еще в древности и интересовали ученых во все времена. В «Началах» Евклида доказано, что если простое число имеет вид 2 n – 1 (такие числа называют простыми числами Мерсенна), то число 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное. А в XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число имеет такой вид.

Задача

Попробуйте доказать эти факты и найти еще пару-тройку совершенных чисел.

Подсказка 1

а) Чтобы доказать утверждение из «Начал» (что если простое число имеет вид 2 n – 1, то число 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное), удобно рассмотреть сигма-функцию, которая равна сумме всех положительных делителей натурального числа n . Например, σ (3) = 1 + 3 = 4, а σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7. Эта функция обладает полезным свойством: она мультипликативна , то есть σ (ab ) = σ (a )σ (b ); равенство выполняется для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b (взаимно простыми называются числа, у которых нет общих делителей). Это свойство можно попытаться доказать или принять на веру.

При помощи сигма-функции доказательство совершенности числа N = 2 n –1 (2 n – 1) сводится к проверке того, что σ (N ) = 2N . Для этого пригодится мультипликативность этой функции.

б) Другой путь решения не использует никаких дополнительных конструкций вроде сигма-функции. Он опирается только на определение совершенного числа: нужно выписать все делители числа 2 n –1 (2 n – 1) и найти их сумму. Должно получиться это же число.

Подсказка 2

Доказывать, что любое четное совершенное число - это степень двойки, умноженная на простое число Мерсенна, также удобно с помощью сигма-функции. Пусть N - какое-нибудь четное совершенное число. Тогда σ (N ) = 2N . Представим N в виде N = 2 k ·m , где m - нечетное число. Поэтому σ (N ) = σ (2 k ·m ) = σ (2 k )σ (m ) = (1 + 2 + ... + 2 k )σ (m ) = (2 k +1 – 1)σ (m ).

Получается, что 2·2 k ·m = (2 k +1 – 1)σ (m ). Значит, 2 k +1 – 1 делит произведение 2 k +1 ·m , а поскольку 2 k +1 – 1 и 2 k +1 взаимно просты, то m должно делиться на 2 k +1 – 1. То есть m можно записать в виде m = (2 k +1 – 1)·M . Подставив это выражение в предыдущее равенство и сократив на 2 k +1 – 1, получим 2 k +1 ·M = σ (m ). Теперь до окончания доказательства остается всего один, хотя и не самый очевидный, шаг.

Решение

В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.

1. Теорема Евклида.

а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна. На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ (pq ) = σ (p )σ (q ), где p и q - различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ (p ) = 1 + p , σ (q ) = 1 + q , а σ (pq ) = 1 + p + q + pq = (1 + p )(1 + q ).

Теперь завершим доказательство первого факта: если простое число имеет вид 2 n – 1, то число N = 2 n –1 (2 n – 1) - совершенное. Для этого достаточно проверить, что σ (N ) = 2N (так как сигма-функция - это сумма всех делителей числа, то есть сумма собственных делителей плюс само число). Проверяем: σ (N ) = σ (2 n –1 (2 n – 1)) = σ (2 n –1)σ (2 n – 1) = (1 + 2 + ... + 2 n –1)·((2 n – 1) + 1) = (2 n – 1)·2 n = 2N . Здесь было использовано, что раз 2 n – 1 - простое число, то σ (2 n – 1) = (2 n – 1) + 1 = 2 n .

б) Доведем до конца и второе решение. Найдем все собственные делители числа 2 n –1 (2 n – 1). Это 1; степени двойки 2, 2 2 , ..., 2 n –1 ; простое число p = 2 n – 1; а также делители вида 2 m ·p , где 1 ≤ m ≤ n – 2. Суммирование всех делителей тем самым разбивается на подсчет сумм двух геометрических прогрессий . Первая начинается с 1, а вторая - с числа p ; у обеих знаменатель равен 2. По формуле суммы элементов геометрической прогрессии сумма всех элементов первой прогрессии равна 1 + 2 + ... + 2 n –1 = (2 n – 1)/2 – 1 = 2 n – 1 (и это равно p ). Вторая прогрессия дает p ·(2 n –1 – 1)/(2 – 1) = p ·(2 n –1 – 1). Итого, получается p + p ·(2 n –1 – 1) = 2 n –1 ·p - то, что надо.

Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, .

2. Теорема Эйлера.

Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2 n – 1 - простое число Мерсенна , то n также должно быть простым числом. Дело в том, что если n = km - составное, то 2 km – 1 = (2 k ) m – 1 делится на 2 k – 1 (поскольку выражение x m – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения). А это противоречит простоте числа 2 n – 1. Обратное утверждение - «если n - простое, то 2 n – 1 также простое» - не верно: 2 11 – 1 = 23·89.

Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель - доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2 k +1 ·M = σ (m ) следует, что m делится на M . Но m делится также и на само себя. При этом M + m = M + (2 k +1 – 1)·M = 2 k +1 ·M = σ (m ). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m . Значит, M = 1, а m - простое число, которое имеет вид 2 k +1 – 1. Тогда N = 2 k ·m = 2 k (2 k +1 – 1), что и требовалось.

Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа. По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n , что 2 n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2 n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число - 16·31 = 496. На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128. Соответствующее простое число Мерсенна равно 2 7 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).

Послесловие

Первые два совершенных числа - 6 и 28 - были известны с незапамятных времен. Евклид (и мы вслед за ним), применив доказанную нами формулу из «Начал», нашел третье и четвертое совершенные числа - 496 и 8128. То есть сначала было известно всего два, а потом четыре числа с красивым свойством «быть равными сумме своих делителей». Больше таких чисел обнаружить не могли, да и эти, на первый взгляд, ничего не объединяло. В эпоху древности люди были склонны вкладывать мистический смысл в таинственные и непонятные явления, поэтому и совершенные числа получили особый статус. Пифагорейцы , оказавшие сильное влияние на развитие науки и культуры того времени, также поспособствовали этому. «Всё есть число», - говорили они; число 6 в их учении обладало особыми магическими свойствами. А ранние толкователи Библии объясняли, что мир был сотворен именно на шестой день, потому что число 6 - самое совершенное среди чисел, ибо оно первое среди них. Также многим казалось неслучайным, что Луна делает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Пятое совершенное число - 33 550 336 - было найдено только в XV веке. Еще почти через полтора века итальянец Катальди нашел шестое и седьмое совершенные числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Им соответствуют n = 17 и n = 19 в формуле Евклида. Обратите внимание, что счет идет уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!

Как мы знаем, Леонард Эйлер доказал, что любое четное совершенное число должно иметь вид 2 n –1 (2 n – 1), причем 2 n – 1 должно быть простым. Восьмое число - 2 305 843 008 139 952 128 - нашел тоже Эйлер в 1772 году. Здесь n = 31. После его достижений можно было осторожно сказать, что про четные совершенные числа науке стало что-то понятно. Да, они быстро растут, и их трудно вычислять, но хотя бы ясно, как это делать: надо брать числа Мерсенна 2 n – 1 и искать среди них простые. Про нечетные совершенные числа неизвестно почти ничего. На сегодняшний день не найдено ни одного такого числа, при том что проверены все числа до 10 300 (видимо, нижняя граница отодвинута даже дальше, просто соответствующие результаты еще не опубликованы). Для сравнения: число атомов в видимой части Вселенной оценивается величиной порядка 10 80 . При этом не доказано, что нечетных совершенных чисел не существует, просто это может быть очень большое число. Даже настолько большое, что наши вычислительные мощности никогда до него не доберутся. Существует ли такое число или нет - одна из открытых на сегодня проблем математики. Компьютерным поиском нечетных совершенных чисел занимаются участники проекта OddPerfect.org .

Вернемся к четным совершенным числам. Девятое число было найдено в 1883 году сельским священником из Пермcкой губернии И. М. Первушиным . В этом числе 37 цифр. Таким образом, к началу XX века было найдено всего 9 совершенных чисел. В это время появились механические арифметические машины, а в середине века - и первые компьютеры. С их помощью дело пошло быстрее. Сейчас найдено 47 совершенных чисел. Причем только у первых сорока известны порядковые номера. Еще про семь чисел пока точно не установлено, какие они по счету. В основном поиском новых мерсенновских простых (а с ними - и новых совершенных чисел) занимаются участники проекта GIMPS (mersenne.org).

В 2008 году участниками проекта было найдено первое простое число, в котором больше 10 000 000 = 10 7 цифр. За это они получили приз $100 000. Денежные призы 150 000 и 250 000 долларов также обещаны за простые числа, состоящие из больше чем 10 8 и 10 9 цифр соответственно. Предполагается, что из этих денег получат вознаграждение и те, кто нашел меньшие, но еще не открытые простые числа Мерсенна. Правда, на современных компьютерах проверка чисел такой длины на простоту займет годы, и это, наверное, дело будущего. Самое большое простое число на сегодня равно 2 43112609 – 1. Оно состоит из 12 978 189 цифр. Отметим, что благодаря тесту Люка-Лемера (см. его доказательство: A proof of the Lucas–Lehmer Test) сильно упрощается проверка на простоту чисел Мерсенна: не нужно пытаться найти хотя бы один делитель очередного кандидата (это очень трудоемкая работа, которая для таких больших чисел практически невыполнима сейчас).

У совершенных чисел есть забавные арифметические свойства:

• Каждое четное совершенное число является также треугольным числом , то есть представимо в виде 1 + 2 + ... + k = k (k + 1)/2 для некоторого k .
• Каждое четное совершенное число, кроме 6, является суммой кубов последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 28 = 1 3 + 3 3 , а 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 .
• В двоичной системе счисления совершенное число 2 n –1 (2 n – 1) записывается очень просто: сначала идут n единиц, а потом - n – 1 нулей (это следует из формулы Евклида). Например, 6 10 = 110 2 , 28 10 = 11100 2 , 33550336 10 = 1111111111111000000000000 2 .
• Сумма чисел, обратных всем делителям совершенного числа (само число здесь тоже участвует), равна 2. Например, 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 2.

Мы сталкиваемся с числами буквально каждое мгновение нашей земной жизни. Еще у древних греков существовала гематрия (нумерология). Для изображения чисел использовались буквы алфавита. Каждому имени или написанному слову соответствовало определенное число. На сегодня наука математика достигла очень высокой степени развития. Используемых в различных расчетах чисел так много, что они сведены в определенные группы. Особое место среди них занимают совершенные числа.

Истоки

В Древней Греции люди сравнивали свойства чисел в соответствии с их именами. Делителям чисел была отведена особая роль в нумерологии. В связи с этим, идеальными (совершенными) числами были те, что равнялись сумме своих делителей. Но, древние греки в состав делителей не включали само число. Чтобы лучше понять, что такое совершенные числа, покажем это на примерах.

Исходя из этого определения, самое меньшее идеальное число - это 6. После него будет 28. Затем 496.

Пифагор считал, что есть особенные числа. Такого же мнения придерживался и Эвклид. Для них эти числа были настолько необыкновенны и специфичны, что они ассоциировали их с мистическими. Таким числам свойственно быть совершенными. Вот, что такое совершенные числа для Пифагора и Эвклида. К ним относились 6 и 28.

Ключ

Математики всегда стремятся при решении задачи с несколькими вариантами решения найти общий ключ для нахождения ответа.

Так, они искали формулу, определяющую идеальное число. Но получалась лишь гипотеза, которую нужно было еще доказать. Представьте себе, уже определив, что такое совершенные числа, математики потратили больше тысячи лет, чтобы определить пятое из них! Спустя 1500 лет оно стало известно.

Очень весомый вклад в расчетах идеальных чисел внесли ученые Ферма и Мерсен (XVII ст.). Они предложили формулу для их вычисления. Благодаря французским математикам и трудам многих других ученых на начало 2018 года количество совершенных чисел достигло 50.

Прогресс

Безусловно, если на открытие совершенного числа, которое по счету было уже пятым, ушло полтора тысячелетия, то сегодня благодаря компьютерам они вычисляются намного быстрее. Например, открытие 39-го идеального числа пришлось на 2001 год. Оно имеет 4 миллиона знаков. В феврале 2008 года открыли 44-е совершенное число. В 2010 году - 47-е идеальное, и к 2018 году, как было сказано выше, открыто 50-е число со статусом совершенства.

Есть еще одна интересная особенность. Изучая, что такое совершенные числа, математики сделали открытие - они все четные.

Немного истории

Доподлинно неизвестно, когда впервые были замечены числа, соответствующие идеалу. Однако предполагают, что еще в древнем Египте и Вавилоне они изображались на пальцевом счете. И нетрудно догадаться, какое совершенное число они изображали. было 6. До самого пятого века нашей эры сохранялся счет с помощью пальцев. Для показа числа 6 на руке загибали безымянный палец и выпрямляли остальные.

В Древнем Египте мерой длины служил локоть. Это было равносильно длине двадцати восьми пальцев. А, например, в Древнем Риме был интересный обычай - отводить шестое место на пирах почетным и знатным гостям.

Последователи Пифагора

Последователи Пифагора тоже увлекались идеальными числами. Какое из чисел является совершенным после 28, очень интересовало Евклида (IV в. до н. э.). Он дал ключ к поиску всех идеальных четных чисел. Интерес представляет девятая книга Евклидовых «Начал». Среди его теорем есть та, которая объясняет, что совершенным называется число, обладающее замечательным свойством:

значение р будет равносильно выражению 1+2+4+…+2n, что можно записать как 2n+1-1. Это простое число. Но уже 2np будет совершенным.

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, нужно рассмотреть все собственные делители числа 2np и подсчитать их сумму.

Это открытие предположительно принадлежит ученикам Пифагора.

Правило Евклида

Кроме того, Евклид доказал: вид четного совершенного числа представлен математически как 2n-1(2n-1). Если n - простое и 2n-1 будет простым.

Правилом Евклида пользовался Никомах из Герасы (I-II в.). Он нашел идеальные числа как 6, 28, 496, 8128. Никомах Геразский высказывался об идеальных числах как про очень красивые, но малочисленные математические понятия.

Полторы тысячи лет спустя немецкий ученый Региомонтан (Йоганн Мюллер) открыл пятое совершенное число в математике. Им оказалось 33 550 336.

Дальнейшие поиски математиков

Числа, которые считаются простыми и относятся к ряду 2n-1, носят название - числа Мерсенна. Это название им дано в честь французского математика, жившего в XVII веке. Именно он открыл восьмое совершенное число в 1644 году.

А вот в 1867 году математический мир потрясла новость от шестнадцатилетнего итальянца Никколо Паганини (тезка известного скрипача), который сообщил о дружественной паре чисел 1184 и 1210. Она ближайшая к 220 и 284. Удивительно, но пару проглядели все именитые математики, занимавшиеся изучением дружественных чисел.

Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, и 6 = 1+2+3.
Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем 28 = 1+2+4+7+14.
Можно заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всех своих делителей, отличающихся от этого числа. Числа, которые обладают этим свойством были названы совершенными.

Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные совершенные числа можно получить из формулы: 2 p –1 (2 p – 1) при условии, что р и 2 p есть числа простые. Таким путём было найдено около 20 чётных совершенных числа. До сих пор неизвестно ни одного нечётного совершенного числа и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования таких чисел были начаты пифагорейцами, приписывавшими им и их сочетаниям особый мистический смысл.

Первое самое меньшее совершенное число – это 6 (1 + 2 + 3 = 6).
Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян.

Второе по старшинству совершенное число – это 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).
В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. В Риме в 1917 г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов – как раз по числу членов академии.

По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число – 496 (1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое – 8128 , пятое – 33 550 336 , шестое – 8 589 869 056 , седьмое – 137 438 691 328 .

Первые четыре совершенные числа: 6, 28, 496, 8128 были обнаружены очень давно, 2000 лет назад. Эти числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского, древнегреческого философа, математика и теоретика музыки.
Пятое совершенное число было выявлено в 1460 г, около 550 лет тому назад. Это число 33550336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век).

В XVI веке также немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328 . Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности. Пока известно 47 чётных совершенных чисел.

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней.
В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Лев Николаевич Толстой не раз шутливо "хвастался" тем, что дата
его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершенным числом.
Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.