Старт в науке. Нестандартные способы решения квадратных уравнений
Цель – обучение учащихся решению нестандартных уравнений и неравенств за счет глубокого понимания теоретических основ, применяемых в математике.
Задачи, решаемые в процессе обучения:
- развить нестандартное мышление учащихся;
- сформировать умение строить математические модели;
- отработать навыки прохождения тестирования при подготовке к ЕГЭ (решение задач повышенной сложности);
- повысить интерес к математике;
- привить уверенность учащимся при решении задач
1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока. Создание условий для успешной совместной деятельности (Работа на уроке оценивается бальной системой, ведётся электронный журнал).
2. Проверка домашнего задания (электронный журнал к уроку). Учащиеся проверяют домашнее задание (сравнивают свои решения с готовыми решениями работа в парах.) в документе Microsoft Office Word на экране (заранее подготовленные учителем решения).
Домашняя работа
Решите уравнения:
Решение.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде: 
3. 
Решение.
Корень уравнения не удовлетворяет условию .
3.Устный опрос учащихся. Взаимопроверка и выставление баллов в карточку учёта результатов, в ходе урока результаты заносятся в электронный журнал
1. Как решаются уравнения вида?
2. Как решаются уравнения вида
?
3. Как решаются логарифмические уравнения с разными основаниями?
4. Как решаются уравнения, в которых фигурирует функция вида ?
4.Проблемное задание (работа в группах), задание лежит на каждой парте на красных листочках. Учащиеся записывают в тетради дату и тему урока и приступают к решению задачи.
1. Решите уравнение
уже на этом этапе понятно, что решение будет очень громоздко. Возникла проблема - решать это уравнение дальше или искать другой способ решения?
Т.к. логарифмируемые выражения для всех х больше 1, то каждый логарифм – положительное или равное 0 число.
Чтобы сумма была равна 0, необходимо
складывать нули или числа противоположные,
поэтому каждый логарифм может принимать только
значение равное нулю, т.е.:
Итак, делаем вывод, что уравнения можно решить с помощью использования свойств функции.
Для самостоятельного решения: Решите уравнение: .
левая часть уравнения – функция монотонно убывающая, а правая – постоянная, следовательно, уравнение имеет единственный корень х=1 (легко подбирается).
5. Изучение новой темы. Для решения большинства уравнений и неравенств, встречающихся на экзаменах, в частности на ЕГЭ, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных приемов, но и с помощью “нестандартных приемов и методов”. Вот мы с вами на следующих пяти уроках и будем отрабатывать такие методы и приемы.
Вы уже при решении некоторых уравнений умеете применять метод подстановки. Сегодня мы уже узнали, что при решении уравнений можно применять свойства функций.
Теперь мне хочется показать применение свойства ограниченности.
1. Теорема 1. Если и , то уравнение
Решите уравнение
Перепишем уравнение в виде:
Так как и ,
следовательно, данное уравнение равносильно
системе:
2.Метод оценки
Нередко признаком того, что следует применять метод оценок, является наличие в уравнении функций разной природы.
Решите уравнение
Равенство достигается, если 
Подставив найденные значения x в уравнение (2), получим:
-решение системы.
3. Использование метода монотонности для решения нестандартных уравнений и неравенств
Если y=f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c имеет не более одного корня
Пусть функция y=f(x) возрастает на промежутке М, а функция y=g(x) убывает на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке М не более одного корня.
Пусть область определения функции f(t) есть промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение равносильно системе:
При решении уравнений вида полезна следующая теорема: Если
Монотонно возрастающая (убывающая) функция, уравнения и эквивалентны.
Решите уравнение :
Решение. - возрастающая функция (как сумма двух возрастающих функций).
В правой части уравнения – постоянное число. В силу теоремы о корне, уравнение имеет не более одного решения. Очевидно, что =2 – корень.
Ответ: =2.
4. Использование области определения функций при решении уравнений и неравенств
Рассматривается метод, когда при рассмотрении уравнения или неравенства выясняется, что обе его части определены на некотором множестве, состоящем из одного или нескольких чисел.
Этот метод наиболее результативен при решении уравнений и неравенств, в состав которых входят функции y =; y =; y=; y = .
При решении уравнения или неравенства перенести все члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x) . Найти её область определения Д (f) . При этом:
1). Если Д (f) = , то уравнение или неравенство решений не имеют.
2). Если Д (f) = {а 1 ; а 2 ; а 3 …..а n }, то действительные решения данного уравнения и неравенства находятся среди чисел а 1 ; а 2 ; а 3 …..а n . Теперь необходимо проверить, какие из данных чисел являются решениями уравнения или неравенства.
3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли уравнение или неравенство на концах промежутка и в каждом промежутке, причём, если a < 0 , а в > 0 , то необходима проверка на промежутках (а; 0) и , отрезки, интервалы и полуинтервалы.
Пример 2.1.1 Решите уравнение
. (1)
Решение. Очевидно, что х ≤ 0 не может являться решением данного уравнения, так как тогда 
. Для х > 0 функция 
непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f(x) = х и 
. Значит, в области х > 0 функция 
принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х = 1 является решением данного уравнения, следовательно, это его единственное решение.
Ответ: {1}.
Пример 2.1.2Решите неравенство
. (2)
Решение. Каждая из функций у = 2 x
, у = 3 x
, у = 4 х
непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция 
. Легко видеть, что при х = 0 функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х > 0 имеем 
, при х < 0 имеем 
. Следовательно, решениями данного неравенства являются все х < 0.
Ответ: (-∞; 0).
Пример 2.1.3 Решите уравнение
. (3)
Решение. Область допустимых значений уравнения (3) есть промежуток . На ОДЗ функции 
и 
непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция 
. Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Так как, то х = 2 является единственным корнем исходного уравнения.
При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.
Если существует число C такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ≤ C, то функция f называется ограниченной сверху на множестве D (рисунок 2).
Рисунок 2
Если существует число c такое, что для любого выполняется неравенство f (x) ≥ c, то функция f называется ограниченной снизу на множестве D (рисунок 3).
Рисунок 3
Функция, ограниченная и сверху, и снизу, называется ограниченной на множестве D. Геометрически ограниченность функции f на множестве D означает, что график функции y = f (x), лежит в полосе c ≤ y ≤ C (рисунок 4).
Рисунок 4
Если функция не является ограниченной на множестве, то говорят, что она не ограничена.
Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x 2 . Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x.
Пример 2.2.1 Решите уравнение
sin(x 3 + 2х 2 + 1) = х 2 + 2х + 2. (4)
Решение. Для любого действительного числа х имеем sin(x 3 + 2х 2 + 1) ≤ 1, х 2 + 2х + 2 = (x + 1) 2 +1 ≥ 1. Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то данное уравнение может иметь решение только при .
При , , т.е. при уравнение (4) так же корней не имеет.
Пример 2.2.2 Решите уравнение
. (5)
Решение. Очевидно, что х = 0, х = 1, х = -1 являются решениями данного уравнения. Для нахождения других решений в силу нечетности функции f(х) = = x 3 - x - sinπx достаточно найти его решения в области х > 0, х ≠ 1, поскольку если x 0 > 0 является его решением, то и (-x 0) также является его решением.
Разобьем множество х > 0, х ≠ 1, на два промежутка: (0; 1) и (1; +∞)
Перепишем начальное уравнение в виде x 3 - x = sinπx. На промежутке (0; 1) функция g(х) = x 3 - x принимает только отрицательные значения, поскольку х 3 < < х, а функция h(x) = sinπx только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение не имеет решений.
Пусть х принадлежит промежутку (1; +∞). Для каждого из таких значений х функция g(х) = х 3 - х принимает положительные значения, функция h(x) = sinπxпринимает значения разных знаков, причем на промежутке (1; 2] функция h(x) = sinπx неположительна. Следовательно, на промежутке (1; 2] уравнение решений не имеет.
Если же х > 2, то |sinπx| ≤ 1, x 3 - x = x(x 2 - 1) > 2∙3 = 6, а это означает, что и на промежутке (1; +∞) уравнение также не имеет решений.
Итак, x = 0, x = 1 и x = -1 и только они являются решениями исходного уравнения.
Ответ: {-1; 0; 1}.
Пример 2.2.3 Решите неравенство
Решение. ОДЗ неравенства есть все действительные x, кроме x = -1. Разобьем ОДЗ неравенства на три множества: -∞ < x < -1, -1 < x ≤ 0, 0 < x < +∞ и рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.
Пусть -∞ < x < -1. Для каждого из этих x имеем g(x) = < 0, а f(x) = 2 x > 0. Следовательно, все эти x являются решениями неравенства.
Пусть -1 < x ≤ 0. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , а f(x) = 2 x ≤ 1. Следовательно, ни одно из этих x не является решением данного неравенства.
Пусть 0 < x < +∞. Для каждого из этих x имеем g(x) = 1 - , a . Следовательно, все эти x являются решениями исходного неравенства.
Ответ: 
.
Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:
· если , то x + T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));
· для любого выполнено равенство
f (x + T) = f (x).
Поскольку то из приведенного определения следует, что
Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где , n ≠ 0, также является периодом этой функции.
Наименьшим положительным периодом функции называется наименьшее из положительных чисел T, являющихся периодом данной функции.
График периодической функции
График периодической функции обычно строят на промежутке }
