Фундамент анализа. Полнота множества действительных чисел. Непрерывность множества действительных чисел Свойство непрерывности множества действительных чисел

⁰

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Аксиоматика действительных чисел

✪ Введение. Действительные числа | матан #001 | Борис Трушин +

✪ Принцип вложенных отрезков | матан #003 | Борис Трушин!

✪ Различные принципы непрерывности | матан #004 | Борис Трушин!

✪ Аксиома непрерывности. Принцип вложенных орезков Кантора

Субтитры

Аксиома непрерывности

Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее простую и удобную для приложений формулировку свойства непрерывности действительных чисел. При аксиоматическом построении теории действительного числа данное утверждение, или эквивалентное ему, непременно входит в число аксиом действительного числа .

Аксиома непрерывности (полноты). A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } и B ⊂ R {\displaystyle B\subset \mathbb {R} } и выполняется неравенство , существует такое действительное число ξ {\displaystyle \xi } , что для всех a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} имеет место соотношение

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой , данное утверждение представляется очевидным. Если два множества A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число ξ {\displaystyle \xi } , разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов A {\displaystyle A} (кроме, возможно, самого ξ {\displaystyle \xi } ) и левее всех элементов B {\displaystyle B} (та же оговорка).

Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

A = { x ∈ Q: x > 0 , x 2 < 2 } , B = { x ∈ Q: x > 0 , x 2 > 2 } {\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}>2\}}

Легко видеть, что для любых элементов a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} выполняется неравенство a < b {\displaystyle a. Однако рационального числа ξ {\displaystyle \xi } , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , но оно не является рациональным .

Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без неё невозможно строгое построение математического анализа. Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

(Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится
(Теорема Больцано - Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка
(Существование степенной , показательной , логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого a > 0 {\displaystyle a>0} и целого n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} существует a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} , то есть решение уравнения x n = a , x > 0 {\displaystyle x^{n}=a,x>0} . Это позволяет определить значение выражения для всех рациональных x {\displaystyle x} :

A m / n = (a n) m {\displaystyle a^{m/n}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}}

Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения a x {\displaystyle a^{x}} уже для произвольного x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа log a ⁡ b {\displaystyle \log _{a}{b}} для любых a , b > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a,b>0,a\neq 1} .

Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще - и вовсе их пропуская, поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке ε − δ {\displaystyle \varepsilon -\delta } , доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа.

Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений , свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы.

Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения

Существует несколько различных утверждений, выражающих свойство непрерывности действительных чисел. Каждый из этих принципов можно положить в основу построения теории действительного числа в качестве аксиомы непрерывности, и из него вывести все остальные . Подробнее этот вопрос обсуждается в следующем разделе.

Непрерывность по Дедекинду

Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа » . В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии . Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установить соответствие , когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу a {\displaystyle a} построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли a {\displaystyle a} положительное или отрицательное число, получить точку p {\displaystyle p} , соответствующую числу a {\displaystyle a} . Таким образом, каждому рациональному числу a {\displaystyle a} соответствует одна и только одна точка p {\displaystyle p} на прямой.

При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путём отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой , или же непрерывностью , которая присуща прямой линии.

Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если p {\displaystyle p} есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса : точки расположенные левее p {\displaystyle p} , и точки расположенные правее p {\displaystyle p} . Сама же точка p {\displaystyle p} может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе:

Геометрически этот принцип представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд подчеркивает, что, по существу, этот принцип является постулатом , в котором выражена сущность того приписываемого прямой свойства, которое мы называем непрерывностью.

Чтобы глубже понять сущность непрерывности числовой прямой в смысле Дедекинда, рассмотрим произвольное сечение множества действительных чисел, то есть разделение всех действительных чисел на два непустых класса, так что все числа одного класса лежат на числовой прямой левее всех чисел второго. Эти классы называются соответственно нижним и верхним классами сечения. Теоретически имеются 4 возможности:

В нижнем классе есть максимальный элемент , в верхнем классе нет минимального
В нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе есть минимальный
В нижнем классе есть максимальный, а в верхнем - минимальный элементы
В нижнем классе нет максимального, а в верхнем - минимального элементов

В первом и втором случаях максимальный элемент нижнего или минимальный элемент верхнего соответственно и производит данное сечение. В третьем случае мы имеем скачок , а в четвертом - пробел . Таким образом, непрерывность числовой прямой означает, что в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, то есть, образно говоря, нет пустот.

Это предложение также эквивалентно принципу непрерывности Дедекинда. Более того можно показать, что из утверждения теоремы о супремуме непосредственно вытекает утверждение теоремы об инфимуме, и наоборот (см. ниже).

Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля)

Лемма о конечном покрытии (Гейне - Борель). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, существует конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса)

Лемма о предельной точке (Больцано - Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку. . Вторая группа выражает тот факт, что совокупность действительных чисел есть , причем отношение порядка согласовано с основными операциями поля. Таким образом, первая и вторая группы аксиом означают, что совокупность действительных чисел представляет собой упорядоченное поле . Третья группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности (или, полноты).

Чтобы показать эквивалентность различных формулировок непрерывности действительных чисел, следует доказать, что если для упорядоченого поля выполнено одно из этих предложений, то из этого вытекает справедливость всех остальных.

Теорема. Пусть - произвольное линейно упорядоченное множество . Следующие утверждения эквивалентны:

Каковы бы ни были непустые множества и B ⊂ R {\displaystyle B\subset {\mathsf {R}}} , такие что для любых двух элементов a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} выполняется неравенство a ⩽ b {\displaystyle a\leqslant b} , существует такой элемент ξ ∈ R {\displaystyle \xi \in {\mathsf {R}}} , что для всех a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} имеет место соотношение a ⩽ ξ ⩽ b {\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b}
Для всякого сечения в R {\displaystyle {\mathsf {R}}} существует элемент, производящий это сечение
Всякое непустое ограниченное сверху множество A ⊂ R {\displaystyle A\subset {\mathsf {R}}} имеет супремум
Всякое непустое ограниченное снизу множество A ⊂ R {\displaystyle A\subset {\mathsf {R}}} имеет инфимум

Как видно из этой теоремы, эти четыре предложения используют лишь то, что на R {\displaystyle {\mathsf {R}}} введено отношение линейного порядка, и не используют структуру поля. Таким образом, каждое из них выражает свойство R {\displaystyle {\mathsf {R}}} как линейно упорядоченного множества. Это свойство (произвольного линейно упорядоченного множества, не обязательно множества действительных чисел) называется непрерывностью, или полнотой, по Дедекинду .

Доказательство эквивалентности других предложений уже требует наличия структуры поля.

Теорема. Пусть R {\displaystyle {\mathsf {R}}} - произвольное упорядоченное поле. Следующие предложения равносильны:

Замечание. Как видно из теоремы, принцип вложенных отрезков сам по себе не равносилен принципу непрерывности Дедекинда. Из принципа непрерывности Дедекинда следует принцип вложенных отрезков, однако для обратного требуется дополнительно потребовать, чтобы упорядоченное поле .

Определение вложенных отрезков. Доказательство леммы Коши - Кантора о вложенных отрезках.

Содержание

Определение вложенных отрезков

Пусть a и b - два действительных числа (). И пусть . Множество чисел x , удовлетворяющих неравенствам , называется отрезком с концами a и b . Отрезок обозначается так: .

Последовательность числовых отрезков

называется последовательностью вложенных отрезков , если каждый последующий отрезок содержится в предыдущем:
.
То есть концы отрезков связаны неравенствами:
.

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора)

Для любой последовательности вложенных отрезков существует точка , принадлежащая всем этим отрезкам.
Если длины отрезков стремятся к нулю:
,
то такая точка единственная.

Эту лемму также называют теоремой о вложенных отрезках или принципом Коши - Кантора .

Доказательство

Для доказательства первой части леммы , воспользуемся аксиомой полноты действительных чисел.

Аксиома полноты действительных чисел заключается в следующем. Пусть множества A и B есть два подмножества действительных чисел , таких что для любых двух элементов и этих множеств выполняется неравенство . Тогда существует такое действительное число c , что для всех и выполняются неравенства:
.

Применим эту аксиому. Пусть множество A есть множество левых концов отрезков, а множество B - правых. Тогда между двумя любыми элементами этих множеств выполняется неравенство . Тогда из аксиомы полноты действительных чисел следует, что существует такое число c , что для всех n выполняются неравенства:
.
Оно и означает, что точка c принадлежит всем отрезкам.

Докажем вторую часть леммы .

Пусть . В соответствии с определением предела последовательности , это означает, что для любого положительного числа существует такое натуральное число N , зависящее от ε , что для всех натуральных n > N выполняется неравенство
(1) .

Допустим противное. Пусть существует две различные точки c 1 и c 2 , c 1 ≠ c 2 , принадлежащие всем отрезкам. Это означает, что для всех n выполняются следующие неравенства:
;
.
Отсюда
.
Применяя (1) имеем:
.
Это неравенство должно выполняться для любых положительных значений ε . Отсюда следует, что
c 1 = c 2 .

Лемма доказана.

Замечание

Существование точки, принадлежащей всем отрезкам, вытекает из аксиомы полноты, которая справедлива для действительных чисел. К рациональным числам эта аксиома не применима. Поэтому к множеству рациональных чисел, лемма о вложенных отрезках также не применима.

Например, мы могли бы выбрать отрезки так, чтобы и левые и правые концы сходились к иррациональному числу . Тогда любое рациональное число, при увеличении n , всегда выпадало бы из системы отрезков. Единственное число, которое принадлежит всем отрезком - это иррациональное число .

Использованная литература:
О.В. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Определение 2. Говорят, что множество ограничено сверху (снизу), если существует число такое, что с (соответственно, ) для любого .

Число с в этом случае называют верхней (соответственно, нижней) границей множества X или также мажорантой (минорантой) множества X.

Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным.

Определение 4. Элемент а называется наибольшим или максимальным (наименьшим или минимальным) элементом множества , если (соответственно, ) для любого элемента .

Введем обозначения и заодно приведем формальную запись определения максимального и минимального элементов соответственно:

Наряду с обозначениями (читается «максимум (читается «минимум в том же смысле используются соответственно символы

Из аксиомы 1 порядка сразу следует, что если в числовом множестве есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один.

Однако не во всяком, даже ограниченном, множестве имеется максимальный (минимальный) элемент.

Например, множество имеет минимальный элемент, но, как легко проверить, не имеет максимального элемента.

Определение 5. Наименьшее из чисел, ограничивающих множество сверху, называется верхней гранью (или точной верхней границей) множества X и обозначается (читается «супремум или

Это основное определение настоящего пункта. Итак,

В первой скобке, стоящей справа от определяемого понятия, написано, что ограничивает X сверху; вторая скобка говорит, что - минимальное из чисел, обладающих этим свойством. Точнее, вторая скобка утверждает, что любое число, меньшее уже не является верхней границей X.

Аналогично вводится понятие нижней грани (точной нижней границы) множества X как наибольшей из нижних границ множества X.

Определение 6.

Наряду с обозначением (читается «инфимум для нижней грани X употребляется также обозначение

Таким образом, даны следующие определения:

Но выше мы говорили, что не всякое множество обладает минимальным или максимальным элементом, поэтому принятые определения верхней и нижней граней числового множества нуждаются в аргументации, которую доставляет следующая

Лемма (принцип верхней грани). Всякое непустое ограниченное сверху подмножество множества вещественных чисел имеет и притом единственную верхнюю грань.

Поскольку единственность минимального элемента числового множества нам уже известна, необходимо лишь убедиться в существовании верхней грани.

Пусть данное подмножество, - множество верхних границ X. По условию, Тогда в силу аксиомы полноты существует число такое, что Число с, таким образом, является мажорантой X и минорантой Как мажоранта X, число с является элементом У, но как миноранта У, число с является минимальным элементом множества У. Итак,

Конечно, аналогично доказывается существование и единственность нижней грани у ограниченного снизу числового множества, т. е. имеет место

Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в другой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее приложениях занимают числовые функции. Они (точнее, так называемые дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект исследования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зрения современной математики описание свойств этих функций, как вы уже могли почувствовать в школе и в чем вскоре убедитесь, невозможно без точного определения множества вещественных чисел, на котором эти функции действуют.

Число в математике, как время в физике, известно каждому, но непонятно лишь специалистам. Это одна из основных математических абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эволюция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то, что читателю в основном известно о действительных числах из средней школы, выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свойства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное, пригодное для последующего математического использования определение вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного перехода - основной неарифметической операции анализа.

§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел

1. Определение множества действительных чисел

Определение 1. Множество Е называется множеством действительных (вещественных) чисел, а его элементы - действительными (вещественными)

числами, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:

(I) Аксиомы сложения

Определено отображение (операция сложения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый суммой х и у. При этом выполнены следующие условия:

Существует нейтр алъный элемент 0 (называемый в случае сложения нулем) такой, что для любого

Для любого элемента имеется элемент , называемый пр отивопо ложным к такой, что

Операция 4 ассоциативна, т. е. для любых элементов из выполнено

Операция 4 коммутативна, т. е. для любых элементов из Е выполнено

Если на каком-то множестве определена операция, удовлетворяющая аксиомам то говорят, что на задана структура группы или что есть группа. Если операцию называют сложением, то группу называют аддитивной. Если, кроме того, известно, что операция коммутативна, т. е. выполнено условие то группу называют коммутативной или абелевой. Итак, аксиомы говорят, что Е есть аддитивная абелева группа.

(II) Аксиомы умножения

Определено отображение (операция умножения)

сопоставляющее каждой упорядоченной паре элементов из Е некоторый элемент , называемый произведением х и у, причем так, что выполнены следующие условия:

1. Существует нейтральный элемент в случае умножения единицей) такой, что

2. Для любого элемента имеется элемент , называемый обратным, такой, что

3. Операция ассоциативна, т. е. любых из Е

4. Операция коммутативна, т. е. для любых

Заметим, что по отношению к операции умножения множество как можно проверить, является (мультипликативной) группой.

(I, II) Связь сложения и умножения

Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е.

Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равенство сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множителей.

Если на каком-то множестве действуют две операции, удовлетворяющие всем перечисленным аксиомам, то называется алгебраическим полем или просто полем.

(III) Аксиомы порядка

Между элементами Е имеется отношение т. е. для элементов из Е установлено, выполняется ли или нет. При этом должны удовлетворяться следующие условия:

Отношение называется отношением неравенства.

Множество, между некоторыми элементами которого имеется отношение, удовлетворяющее аксиомам 0, 1, 2, как известно, называют частично упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома 3, т. е. любые два элемента множества сравнимы, то множество называется линейно упорядоченным.

Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядочено отношением неравенства между его элементами.

(I, III) Связь сложения и порядка в R

Если х, - элементы R, то

(II, III) Связь умножения и порядка в R

Если - элементы R, то

(IV) Аксиома полноты (непрерывности)

Если X и Y - непустые подмножества Е, обладающие тем свойством, что для любых элементов выполнено то существует такое , что для любых элементов .

Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы то ни было множестве Е позволяет считать это множество конкретной реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел.

Это определение формально не предполагает никакой предварительной информации о числах, и из него, «включив математическую мысль», опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем остальные свойства действительных чисел. По поводу этого аксиоматического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных замечаний.

Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок, кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не пришли к рациональным числам; что вам неизвестно великое открытие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т. е. нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процессе измерений понятия «больше» что вы не иллюстрируете себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего этого предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не только не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но, скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае произвольным плодом фантазии.

Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возникают по крайней мере два вопроса.

Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т. е. существует лимножество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о непротиворечивости аксиоматики.

Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет математический объект, т. е., как сказали бы логики, категорична ли система аксиом.

Однозначность здесь надо понимать следующим образом. Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, числовых систем удовлетворяющие аксиоматике, то между множествами можно установить биективное соответствие, пусть сохраняющее арифметические операции и отношение порядка, т. е.

С математической точки зрения в таком случае являются всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями (моделями) действительных чисел (например, - бесконечные десятичные дроби, а - точки на числовой прямой). Такие реализации называются изоморфными, а отображение - изоморфизмом. Результаты математической деятельности относятся, таким образом, не к индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных моделей данной аксиоматики.

Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и ограничимся только информативными ответами на них.

Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиоматики всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. I, § 4, п. 2), можно построить множество натуральных, затем множество рациональных и, наконец, множество Е всех действительных чисел, удовлетворяющее всем перечисленным свойствам.

§ 7 . Фундамент анализа, 4

Полнота множества действительных чисел.

7.1. Вступление.

Определение. Действительным числом a назовем класс эквивалентности a фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Определение. Множество R классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел будем называть множеством действительных чисел.

1) lim a n = a Û " 0 < eÎR $ pÎN (" nÎN , n ³ p) Þ |a n - a| £ e

2) всякая последовательность (a n), которая является сходящейся, является также фундаментальной

" 0 < eÎR $ pÎN ((" mÎN , " nÎN , m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ e)

Естественно попытаться по аналогии с §6 применить процедуру факторизации к множеству фундаментальных последовательностей действительных чисел. Не получим ли мы множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей действительных чисел, содержащее множество R в качестве собственного подмножества?

Оказывается, нет.

В этом § будет установлено замечательное свойство: свойство полноты множества действительных чисел, заключающееся в том, что любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в R .

7.2. Приближение действительных чисел десятичными дробями.

Определение. Последовательность (q n) ограничена, если $ 0 < MÎQ , что (" nÎN |q n | £ M)

Теорема 1 . Каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел ограничена.

Доказательство . Пусть (q n) - фундаментальная последовательность рациональных чисел, тогда, в силу фундаментальности, для e=1 найдется такое pÎN , что:

$ pÎN: ((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p -фиксируем, тогда " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

В самом деле: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |q p | Þ |q n | £ 1 + |q p |.

Полагая в качестве M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) получим: " nÎN |q n | £ M.ð

В п.6.3. на множестве было задано унарное отношение “быть положительным“. Условимся писать “>0“. Тогда a ³ 0 Û (a > 0 или a = 0).

Теорема 2 . Пусть фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел представляет действительное число a, тогда:

а) ($ p 1 ÎN , $ MÎQ (" nÎN , " n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

б) ($ p 2 ÎN , $ mÎQ (" nÎN , " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Доказательство. Поскольку " n³p 1 q n -M £ 0, то фундаментальная последовательность q n -M - разность фундаментальной последовательности (q n) и постоянной последовательности M не может быть положительной последовательностью, т.к. она либо нулевая, либо отрицательная.

Поэтому действительное число (a-M), представленное этой последовательностью, не может быть положительным, т.е. a-M £ 0, т.е. a£M.

Аналогично, рассматривается б).

Теорема 3 . Фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел представляет действительное число a тогда и только тогда, когда " 0R $pÎN , что "nÎN и n³p будет выполняться неравенство |q n -a| £ e:

(q n)Îa Û " 0 < eÎR $ pÎN (" nÎN , n³p) Þ |q n -a| £ e.

Доказательство. Докажем лишь необходимость. Очевидно, что " eÎR $ e 1 ÎQ (e 1 £e)

Пусть фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел является представителем числа a.

По условию она фундаментальна, т.е. " 0 < eÎQ $ pÎN (" nÎN, " mÎN , n³p, m³p) Þ |q n -q n | £ e/2.

Зафиксируем n³p, тогда получим фундаментальную последовательность (q m -q n): (q 1 -q n ; q 2 -q n ; … ; q n-1 -q n ; 0; q n+1 -q n ; …).

Все члены этой последовательности при m³p удовлетворяют неравенству: |q m -q n |£ e/2.

По теореме 2 и представленное этой последовательностью действительное число | a-q n | £ e/2.

| a-q n | £ e Î R "n³p.

Теорема 4 . Каково бы ни было действительное число a, всегда найдется целое число M, что будет выполняться неравенство M£a

(" aÎR $! MÎZ (M £ a < M+1))

Доказательство.

Шаг 1. Доказательство существования.

Пусть фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел представляет действительное число a: ((q n)Îa). В силу Теоремы 1, $ LÎZ 0 , такое что " nÎN q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

По Теореме 3 (q n)Îa Û " e>0, eÎR $ pÎN : ((" nÎN , n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

Тогда " n³p ½a½=½a- q n + q n ½£½a- q n ½+½ q n ½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

Т.к. e – произвольное число >0, то –L £ a £ L. После этого очевидно, что -1-L < a < L+1.

Тогда среди конечного множества целых чисел: -L-1, -L, -L+1, …, -1, 0, +1, …, L, L+1, найдем первое число M+1, для которого выполняется условие a < M+1.

Тогда число M не удовлетворяет неравенству M £ a < M+1, т.е. такое число M существует.

Шаг 2. Доказательство единственности.4