Объем правильной призмы формула. Площадь основания призмы: от треугольной до многоугольной

⁰

Объём призмы. Решение задач

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Г.Галилей

Цель урока:

обучить решению задач на вычисление объема призм, обобщить и систематизировать имеющиеся у учащихся сведения о призме и ее элементах, формировать умения решать задачи повышенной сложности;
развивать логическое мышление, умение самостоятельно работать, навыки взаимоконтроля и самоконтроля, умение говорить и слушать;
выработать привычку к постоянной занятости, каким- либо полезным делом, воспитание отзывчивости, трудолюбия, аккуратности.

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков.

Оборудование: карточки контроля,медиапроектор, презентация “Урок. Объем Призмы”, компьютеры.

Ход урока

Боковые ребра призмы (рис 2).
Боковую поверхность призмы (рис 2, рис 5).
Высоту призмы (рис 3, рис 4).
Прямую призму (рис 2,3,4).
Наклонную призму (рис 5).
Правильную призму (рис 2, рис 3).
Диагональное сечение призмы (рис 2).
Диагональ призмы (рис 2).
Перпендикулярное сечение призмы (ри3, рис4).
Площадь боковой поверхности призмы.
Площадь полной поверхности призмы.
Объем призмы.

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (8 мин)

Обменяйтесь тетрадями, проверьте решение на слайдах и выставьте отметку (отметка 10 если составлена задача)

Составьте по рисунку задачу и решите её. Ученик защищает составленную им задачу у доски. Рис 6 и рис 7.

Глава 2,§3
Задача.2. Длины всех ребер правильной треугольной призмы равны между собой. Вычислите объем призмы, если площадь ее поверхности равна cм 2 (рис8)

Глава 2,§3
Задача 5. Основание прямой призмы АВСА 1В 1С1 есть прямоугольный треугольник АВС (угол АВС=90°), АВ=4см. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2,5см, а высота призмы равна 10см. (рис 9).

Глава2,§3
Задача 29.Длина стороны основания правильной четырехугольной призмы равна 3см. Диагональ призмы образует с плоскостью боковой грани угол 30°. Вычислить объем призмы (рис 10).

Совместная работа учителя с классом (2-3мин.).

Цель: подведение итогов теоретической разминки (учащиеся проставляют оценки друг другу), изучение способов решения задач по теме.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА (3 мин)
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ (10 мин)

На данном этапе учитель организует фронтальную работу по повторению способов решения планиметрических задач, формул планиметрии. Класс делится на две группы, одни решают задачи, другие работают за компьютером. Затем меняются. Учащимся предлагается решить всем № 8 (устно), № 9 (устно). После делятся на группы и преступают к решению задач № 14, № 30, № 32.

Глава 2, §3, страница 66-67

Задача 8. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите объём призмы, если площадь сечения плоскостью, проходящей через ребро нижнего основания и середину стороны верхнего основания, равна см (рис.11).

Глава 2,§3, страница 66-67
Задача 9. основание прямой призмы – квадрат, а ее боковые ребра в два раза больше стороны основания. Вычислите объем призмы, если радиус окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра, равен см. (рис.12)

Глава 2,§3, страница 66-67
Задача 14 .Основание прямой призмы – ромб, одна из диагоналей которого равна его стороне. Вычислите периметр сечения плоскостью проходящей через большую диагональ нижнего основания, если объем призмы равен и все боковые грани квадраты (рис.13).

Глава 2,§3, страница 66-67
Задача 30 .АВСА 1 В 1 С 1 –правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой, точка о середина ребра ВВ 1 . Вычислите радиус окружности, вписанной в сечение призмы плоскостью АОС, если объем призмы равен (рис.14).

Глава 2,§3, страница 66-67
Задача 32 .В правильной четырех угольной призме сумма площадей оснований равна площади боковой поверхности. Вычислите объем призмы, если диаметр окружности, описанной около сечения призмы плоскостью, проходящей через две вершины нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, равен 6 см (рис15).

В ходе решения задач ученики сопоставляют свои ответы с теми, что показывает учитель. Это образец решения задачи с подробными комментариями … Индивидуальная работа учителя с “сильными” учениками (10мин.).

Самостоятельная работа учащихся над тестом за компьютером

1. Сторона основания правильной треугольной призмы равна , а высота-5. Найдите объем призмы.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Выберите верное утверждение.

1)Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

2) Объем правильной треугольной призмы вычисляется по формулеV=0,25а 2 h -где а- сторона основания,h-высота призмы.

3)Объем прямой призмы равен половине произведения площади основания на высоту.

4)Объем правильной четырехугольной призмы вычисляется по формуле V=a 2 h-где а- сторона основания,h-высота призмы.

5)Объем правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле V=1.5а 2 h, где а- сторона основания,h-высота призмы.

3.Сторона основания правильной треугольной призмы равна . Через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость, которая проходит под углом 45° к основанию. Найдите объем призмы.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Основанием прямой призмы является ромб, сторона которого равна 13, а одна из диогоналей-24. Найдите объем призмы, если диагональ боковой грани равна 14.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Разные призмы непохожи друг на друга. В то же время у них много общего. Чтобы найти площадь основания призмы, потребуется разобраться в том, какой вид оно имеет.

Общая теория

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник - от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Треугольная призма

Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.

Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.

Чтобы узнать площадь основания в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.

Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.

Вторая: S = ½ н а * а.

Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Четырехугольная призма

Ее основанием является любой из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В каждом случае для того, чтобы вычислить площадь основания призмы, будет нужна своя формула.

Если основание — прямоугольник, то его площадь определяется так: S = ав, где а, в — стороны прямоугольника.

Когда речь идет о четырехугольной призме, то площадь основания правильной призмы вычисляется по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается лежащим в основании. S = а 2 .

В случае когда основание — это параллелепипед, будет нужно такое равенство: S = а * н а. Бывает такое, что даны сторона параллелепипеда и один из углов. Тогда для вычисления высоты потребуется воспользоваться дополнительной формулой: н а = в * sin А. Причем угол А прилегает к стороне «в», а высота н а противолежащая к этому углу.

Если в основании призмы лежит ромб, то для определения его площади будет нужна та же формула, что для параллелограмма (так как он является его частным случаем). Но можно воспользоваться и такой: S = ½ d 1 d 2 . Здесь d 1 и d 2 - две диагонали ромба.

Правильная пятиугольная призма

Этот случай предполагает разбиение многоугольника на треугольники, площади которых узнать проще. Хотя бывает, что фигуры могут быть с другим количеством вершин.

Поскольку основание призмы — правильный пятиугольник, то он может быть разделен на пять равносторонних треугольников. Тогда площадь основания призмы равна площади одного такого треугольника (формулу можно посмотреть выше), умноженной на пять.

Правильная шестиугольная призма

По принципу, описанному для пятиугольной призмы, удается разбить шестиугольник основания на 6 равносторонних треугольников. Формула площади основания такой призмы подобна предыдущей. Только в ней следует умножать на шесть.

Выглядеть формула будет таким образом: S = 3/2 а 2 * √3.

Задачи

№ 1. Дана правильная прямая Ее диагональ равна 22 см, высота многогранника — 14 см. Вычислить площадь основания призмы и всей поверхности.

Решение. Основанием призмы является квадрат, но его сторона не известна. Найти ее значение можно из диагонали квадрата (х), которая связана с диагональю призмы (d) и ее высотой (н). х 2 = d 2 - н 2 . С другой стороны, этот отрезок «х» является гипотенузой в треугольнике, катеты которого равны стороне квадрата. То есть х 2 = а 2 + а 2 . Таким образом получается, что а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Подставить вместо d число 22, а «н» заменить его значением — 14, то получается, что сторона квадрата равна 12 см. Теперь просто узнать площадь основания: 12 * 12 = 144 см 2 .

Чтобы узнать площадь всей поверхности, нужно сложить удвоенное значение площади основания и учетверенную боковую. Последнюю легко найти по формуле для прямоугольника: перемножить высоту многогранника и сторону основания. То есть 14 и 12, это число будет равно 168 см 2 . Общая площадь поверхности призмы оказывается 960 см 2 .

Ответ. Площадь основания призмы равна 144 см 2 . Всей поверхности - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основании лежит треугольник со стороной 6 см. При этом диагональ боковой грани составляет 10 см. Вычислить площади: основания и боковой поверхности.

Решение. Так как призма правильная, то ее основанием является равносторонний треугольник. Поэтому его площадь оказывается равна 6 в квадрате, умноженному на ¼ и на корень квадратный из 3. Простое вычисление приводит к результату: 9√3 см 2 . Это площадь одного основания призмы.

Все боковые грани одинаковые и представляют собой прямоугольники со сторонами 6 и 10 см. Чтобы вычислить их площади, достаточно перемножить эти числа. Потом умножить их на три, потому что боковых граней у призмы именно столько. Тогда площадь боковой поверхности оказывается раной 180 см 2 .

Ответ. Площади: основания - 9√3 см 2 , боковой поверхности призмы - 180 см 2 .

ПРЯМАЯ ПРИЗМА. ПОВЕРХНОСТЬ И ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

§ 68. ОБЪЁМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ.

1. Объём прямой треугольной призмы.

Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = АА" = = ВВ" = СС" (черт. 306).

Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (черт. 307, а), и достроим его до прямоугольника, для чего через вершину В проведём прямую КМ || АС и из точек A и С опустим на эту прямую перпендикуляры АF и СЕ. Получим прямоугольник АСЕF. Проведя высоту ВD треугольника АBС, увидим, что прямоугольник АСЕF разбился на 4 прямоугольных треугольника. Причём /\ ВСЕ = /\ BCD и /\ ВАF = /\ ВАD. Значит, площадь прямоугольника АСЕF вдвое больше площади треугольника АBС, т. е. равна 2S.

К данной призме с основанием АBС пристроим призмы с основаниями ВСЕ и BАF и высотой h (черт. 307, б). Получим прямоугольный параллелепипед с основанием
АСЕF.

Если этот параллелепипед рассечём плоскостью, проходящей через прямые BD и ВВ", то увидим, что прямоугольный параллелепипед состоит из 4 призм с основаниями
ВСD, ВСЕ, BАD и ВАF.

Призмы с основаниями ВСD и ВСЕ могут быть совмещены, так как основания их равны (/\ ВСD = /\ BСЕ) и также равны их боковые рёбра, являющиеся перпендикулярами к одной плоскости. Значит, объёмы этих призм равны. Также равны объёмы призм с основаниями BАD и BАF.

Таким образом, оказывается, что объём данной треугольной призмы с основанием
АBС вдвое меньше объёма прямоугольного параллелепипеда с основанием АСЕF.

Нам известно, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту, т. е. в данном случае равен 2Sh . Отсюда объём данной прямой треугольной призмы равен Sh .

Объём прямой треугольной призмы равен произведению площади её основания на высоту.

2. Объём прямой многоугольной призмы.

Чтобы найти объём прямой многоугольной призмы, например пятиугольной, с площадью основания S и высотой h , разобьём её на треугольные призмы (черт. 308).

Обозначив площади основания треугольных призм через S 1 , S 2 и S 3 , а объём данной многоугольной призмы через V, получим:

V = S 1 h + S 2 h + S 3 h , или
V = (S 1 + S 2 + S 3)h .

И окончательно: V = Sh .

Таким же путём выводится формула объема прямой призмы, имеющей в основании любой многоугольник.

Значит, объём любой прямой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

Упражнения.

1. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании параллелограмм, по следующим данным:

2. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании треугольник, по следующим данным:

3. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании равносторонний треугольник со стороной в 12 см (32 см, 40 см). Высота призмы 60 см.

4. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании прямоугольный треугольник с катетами в 12 см и 8 см (16 см и 7 см; 9 м и 6 м). Высота призмы 0,3 м.

5. Вычислить объём прямой призмы, имеющей в основании трапецию с параллельными сторонами в 18 см и 14 см и высотой в 7,5 см. Высота призмы 40 см.

6. Вычислить объём вашей классной комнаты (физкультурного зала, своей комнаты).

7. Полная поверхность куба равна 150 см 2 (294 см 2 , 864 см 2). Вычислить объём этого куба.

8. Длина строительного кирпича - 25,0 см, ширина его - 12,0 см толщина - 6,5 см. а) Вычислить его объём, б) Определить его вес, если 1 кубический сантиметр кирпича весит 1,6 г.

9. Сколько штук строительного кирпича потребуется для постройки сплошной кирпичной стены, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда длиной в 12 м, шириной в 0,6 м и высотой в 10м? (Размеры кирпича из упражнения 8.)

10. Длина чисто обрезаной доски равна 4,5 м, ширина - 35 см толщина - 6 см. а) Вычислить объем б) Определить её вес, если кубический дециметр доски весит 0,6 кг.

11. Сколько тонн сена можно уложить в сеновал, покрытый двускатной крышей (черт. 309), если длина сеновала равна 12 м, ширина - 8 м, высота - 3,5 м и высота конька крыши равна 1,5 м? (Удельный вес сена принять за 0,2.)

12. Требуется выкопать канаву длиной 0,8 км; в разрезе канава должна иметь форму трапеции с основаниями в 0,9 м и 0,4 м, и глубина канавы должна равняться 0,5 м (черт. 310). Сколько кубометров земли придется при этом вынуть?