Открытый урок основные свойства логарифмов. Открытый урок "логарифмы". «Логарифмы и их свойства»

⁰

Методическая разработка урока по алгебре 11 класс

«Логарифмы и их свойства»

Цель урока:

Образовательная – ввести понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

Развивающая - развивать математическое мышление; технику вычисления; умение логически мыслить и рационально работать; способствовать развитию у обучающихся навыков самоконтроля.

Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к теме, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Задачи урока :

Развить у учащихся умения сравнить, сопоставлять, анализировать, делать самостоятельные выводы.

Ключевые компетенции: способность самостоятельно искать, извлекать, систематизировать, анализировать и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию; способность самостоятельно осваивать знания и умения, необходимые для решения поставленной задачи.

Тип урока : Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Ключевые слова: логарифм; свойства логарифма.

Программное обеспечение : MS Power Point.

Межпредметные связи : история.

Внутрипредметные связи : «Корень n-ой степени и их свойства».

План урока

Организационный момент.

Повторение пройденного материала.

Объяснение нового материала.

Закрепление.

Самостоятельная работа.

Домашнее задание. Подведение итогов урока.

Ход урока:

Орг момент: проверка готовности учащихся к уроку; рапорт дежурного.

Добрый день, обучающиеся.

Этот урок я хочу начать со слов А.Н. Крылова: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

Повторение пройденного материала.

Учащимся предлагается вспомнить:

1.Что такое степень, основание и показатель.

2. Основные свойства степеней.

3. Сообщение новой темы.

А теперь перейдем к новой теме. Тема сегодняшнего урока - Логарифм и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).

На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов. Тема эта актуальна, т.к. логарифм всегда встречается на итоговой аттестации по математике.

Зададим вопрос:

1) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 9, равен 2.

2) В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить 8, равен 3.

Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.

Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем: log 3 9=2

Эта запись читается так: «Логарифм числа 9 по основанию 3». Логарифм числа 9 по основанию 3 это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 9. этот показатель равен 2.

Аналогично второй пример.

Дадим определение логарифма.

Определение . Логарифмом числа b0 по основанию a0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b .

Логарифмом числа b по основанию a обозначаетсяlog a b.

История возникновения логарифма:

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку.

Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

Рассмотрим примеры:

log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2; log 5 1/125=-3; log -2 -8- не существует; log 5 1=0; log 4 4=1

Рассмотрим такие примеры:

1 0 . log a 1=0, а0, a ≠ 1;

2 0 . log a а=1, а0, a ≠ 1.

Эти две формулы являются свойствами логарифма. Запишите свойства и их необходимо запомнить.

В математике принято следующее сокращение:

log 10 а= lg а- десятичный логарифм числа а (буква «о» пропускается, а основание 10 не ставят).

log е а= ln а - натуральный логарифм числа а. «е» - это такое иррациональное число, равное  2,7 (буква «о» пропускается, а основание «е» не ставят).

Рассмотрим примеры:

lg 10=1; lg 1=0

ln e=1 ; ln 1=0 .

Как перейти из логарифмического равенства к показательному: log а b=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а , чтобы получить b . Следовательно, а степени с равен b: а с = b.

Рассмотрим пять логарифмических равенств. Задание: проверить их правильность. Среди этих примеров есть ошибки. Для проверки воспользуемся данной схемой.

lg 1 = 2 (10 2 =100)- это равенство не верное.

log 1/2 4 = 2- это равенство не верное.

log 3 1=1 - это равенство не верное.

log 1/3 9 = -2 - это равенство верное.

log 4 16 = -2- это равенство не верное.

Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b

Рассмотрим пример.

5 log 5 13 =13

Свойства логарифмов:

3°. log а ху = log а х + log а у.

4°. log а х/у = log а х - log а у.

5°. log а х p = p · log а х, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log 2 8 + log 2 32= log 2 8∙32= log 2 256=8

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9

3∙3 = 9

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

Эта формула потребуется при вычислении логарифма по калькулятору.

Возьмем пример: log 3 7 = lg7 / lg3. В калькуляторе можно вычислить только десятичный и натуральный логарифм. Вводим цифру 7 и нажмем кнопку «лог», также вводим цифру 3 и нажмем кнопку «лог», делим верхнее значение на нижнее и получаем ответ.

Закрепление.

Для закрепления новой темы решим примеры.

Пример 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

log 6 6

log 0,5 1

log 6 3+ log 6 2

log 3 6- log 3 2

log 4 4 8

Пример 2.
Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6

log 5 5 3 = 2;

log 3 45 - log 3 5 = log 3 40

3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)

log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;

2∙log 5 6 = log 5 12

3∙log 2 3 = log 2 27

log 2 16 2 = 8.

Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам.

Вариант 1.

Вычислите:

Вариант 2.

Вычислите:

Подведение итогов. Домашнее задание. Выставление оценок.

Урок закончен. До свидания.

Улан-Удэнский институт железнодорожного транспорта -

филиал ФГБОУ ВПО «ИрГУПС»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Стогова О.О.

Улан - Удэнского колледжа железнодорожного транспорта

Рецензенты –– Мартынова Т.Ю., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта, методист.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

открытого занятия по математике

по теме «Логарифмы и их свойства»

Стогова О.О.

Пояснительная записка

Данное занятие рассматривается в разделе курса алгебры «Корни, степени и логарифмы» и является последним занятием по теме «Логарифмы и их свойства». Эта тема помогает дальнейшему развитию пространственного представления и изобразительных умений; логического мышления и речи; умения проводить систематизацию.

В ходе занятия формируется и совершенствуется математический язык (словесный, символический); качества личности, необходимые для жизни в современном мире (ясность, точность мысли, интуиция); отношение к математике как к части общечеловеческой культуры. На занятии ведется повторение определения логарифма, свойств логарифма, формул применяемых для преобразований выражений, с опорой на ранее изученный материал степени и корни; при решении показывается связь между данными темами, а также связь темы с внешним миром. Последнее является важным звеном в сознательном восприятии учебного материала. Для обеспечения оптимального взаимодействия между преподавателем и студентами на занятии предусмотрены: организация проблемного диалога; использование «готовых» знаний; применение обучающих серий; использование кроссворда, таблиц; компьютерная презентация; самостоятельная работа; работа в парах; в группе, само- и взаимоконтроль, тестирование.

Для поддержания интереса и устойчивой концентрации внимания предусмотрена смена видов деятельности: фронтальная работа – учебный диалог; индивидуальная работа – работа в паре или группе; компьютерная презентация – знакомство с новым материалом и новыми понятиями; самостоятельная работа – закрепление материала; работа в парах и в группах – решение задач; компьютерная презентация – связь с реальным миром.

Контроль над деятельностью студентов в ходе занятия осуществляется со стороны преподавателя, предусмотрены самоконтроль, самооценивание и взаимооценивание.

Технологическая карта занятия

Дисциплина: математика группа ЭПСл-13143

Преподаватель: Стогова Ольга Олеговна

Тема: Свойства логарифма

Тип занятия:

Вид/ Форма: занятие-практикум/ фронтальная, групповая, индивидуальная, парная.

Цель:

Образовательная

Развивающая : развивать навыки самоконтроля, логическое мышление, пространственное восприятие, познавательный интерес, математически грамотную речь, прививать любовь и бережное отношение к природе;

Воспитательная : совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, аккуратность, усидчивость.

информационно – иллюстративный; проблемный диалог; дидактическая игра, самостоятельная работа, элементы информационных технологий.

В результате проведения занятия формируются следующие компетенции:

Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество;

Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личного роста.

Самостоятельно определять задачи профессионального и личного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение профессионального и личностного развития.

Работать в коллективе и команде, эффективно общаться, брать на себя ответственность за работу членов команды, результат выполнения заданий.

После изучения данной темы студент должен

Знать: определение логарифма, логарифмическое тождество, свойства логарифма степени и корня, основные формулы применяемые для решения и преобразований.

Уметь: применять свойства и определения при решении, вычислении, упрощении, нахождении значений логарифмических выражений.

Обеспечение занятия:

ТСО, раздаточный материал и наглядные пособия:

Презентации по теме, лист самооценки (для каждого студента), плакат с кроссвордом, тест для самостоятельной работы, мультимедийный пректор, ноутбук, раздаточный материал.

2.Используемая литература:

1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для бакалавров. М.: Юрайт, 2013.

2. Богомолов Н.В.Практические занятия по математике. М.: Юрайт, 2013.

3.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.Учебник.,2015г

4.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.

Задачник.,2015г

Мотивационный компонент занятия: осознание значимости изучаемого материала, включение студентов в учебную деятельность, необычные элементы обучения, осознанное стремление работать вместе с другими, хорошо и быстро получать нужный всем результат

Междисциплинарные связи: алгебра, физика, астрономия

Внутри дисциплинарные связи:

Структура занятия:

Организационный этап (2мин.)

Приветствие, работа с журналом

Сообщение темы, целей, постановка учебных задач

Мотивация

Основной этап (84 мин.)

Актуализация знаний (17 мин)

Проверка домашнего задания(10 мин);

Интеллектуальная разминка(разгадывание кроссворда)

(работа в группе, по рядам)(7);

2.Формирование знаний, умений (17)

Проверка теоретических знаний (собери определение)(5)

Проверка свойств логарифмов(найди пару)(8)

3.Этап закрепление материала (50 мин.)

Дидактическая игра «Путешествие солнечной системе»(22)

Решение тестовой работы(12)

Найди ошибку(4)

Знакомство с дополнительным материалом.(12)

С помощью презентации «Дополнительная информация о логарифмах»,

рассматриваем о логарифмах в природе и других науках

Заключительный этап (4мин.)

Рефлексия

Домашнее задание

Итог занятия.

Тема: Логарифмы и их свойства

Тип занятия: комплексное применение знаний и умений

Вид/ Форма: занятие-практикум/ фронтальная, групповая, индивидуальная, коллективная.

Цель:

Образовательная обобщить, систематизировать и закрепить теоретические знания по данной теме и продолжить применение знаний при решении задач.

Развивающая : развивать сознательное восприятие учебного материала, зрительной памяти, развивать навыки самообучения, самоорганизации, самоконтроля, логическое мышление, познавательный интерес, математически грамотную речь, способствовать развитию творческой деятельности студентов.

Воспитательная : совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитание познавательной активности, воспитать у студентов любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.

Применяемые методы, педагогические технологии:

Коммуникативный, информационно – иллюстративный; проблемный диалог; метод «неоконченных решений», самостоятельная работа, элементы информационных технологий, систематизирующий и контрольный.

Ход занятия.

I . Организационный этап.

1)Сообщаю тему, цель занятия и основные задачи (слайды 1,2)

Дорогие ребята, тема нашего занятия «Логарифмы, их свойства». На уроке мы должны систематизировать знания по этой теме, продолжить решения задач, рассмотреть нестандартные, практические задачи.

Я надеюсь на ваше внимание и активность на уроке, а также надеюсь, что занятие пройдет интересно и с пользой для всех нас. Откройте тетради, запишите число, тему. Обратите внимание на материалы на ваших столах. Начнем с того, что подпишем таблицу самооценки, в ней прописаны этапы для оценивания, и еще прошу обратите внимание на листы с лесенкой. Прочитайте внимательно, постарайтесь максимально честно зрительно поставить себя(т. е. свои знания по теме) на ступеньке этой лесенки.

Таблица самооценки студента Ф И:

Оценить работу на занятии по пятибалльной системе, по следующим этапам:

Определи свое место на этой лестнице

а) в начале сегодняшнего занятия ;

б) в конце сегодняшнего занятия ;

II . Основной этап.

2)Проверка домашней работы.

Домашнее задание состоит из четырех заданий, решение заданий ребята заранее готовят на доске, выходят по одному и каждое задание объясняют.

1.Вычислите:

0,7(2 + = 2,1

1) ; 2)2+ ; 3) 4) 3 = 2,1

Вычислите:

Решение: выполняем по действиям

1) 2)

3) Упростите выражение:

4) Найти значение выражения:

= + = 6+8 = 14

Решение: выполняем по действиям

1); 2); 3)

Студенты проверив свое решение, ставят себе оценку за домашнее задание в таблицу самооценки.

3)Интеллектуальная разминка:

разгадывание кроссворда, состоящего из вопросов на знание основных математических понятий, определение и свойств логарифма, исторических моментов.

Работа выполняется в паре, осуществляется на листах и затем проверяется на большом плакате. Подводим итог этому этапу по рядам, какой ряд дал больше правильных ответов.

Материал для интеллектуальной разминки:

По горизонтали

По вертикали

3.Формулировка раскрывающая содержание понятия (определение)

4.Сопровождение доказательства наглядным примером(иллюстрация)

5.Логарифм в основании которого лежит число Эйлера (натуральный)

8. Конструкция (построение)

10.Главная часть логарифма (основание)

11.Создатель таблицы логарифмов(Непер)

12.Третий вид формулы, выражающий свойство логарифмов(Степень)

1.Логарифм по основанию 10 (десятичный)

2.Логарифм этого числа по основанию 2 равен 4(шестнадцать)

5.Числа используемые для счета предметов(натуральные)

6.Из определения логарифма, следует логарифмическое…(тождество)

7.Показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить данное число(логарифм)

9.Вид формулы логарифма(произведение)

4)Собери определение логарифма или рассматриваемые три теоремы.

Определение или теорема дается в разрезанном виде по словам, каждая группа(4 человека) собирает данное им задание. Проверяем с помощью слайдов (3,4,5,6).Преподаватель, вместе со студентами анализирует работу каждой группы и затем они выставляют себе оценку в таблице за данный этап урока.

1)Логарифмом положительного числа в по положительному и отличному от1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число в .

2)Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел

3)Логарифм частного (где - положительные числа, причем ) равен разности логарифмов числителя и знаменателя

log a (b: c) = log a b – log a c

4)Логарифм степени (где положительные числа и )

равен произведению показателя степени на логарифм основания степени

5)Проверка теоретических знаний, основных формул, «Найди пару»

Данное задание выполняется по теме «Логарифмы и их свойства», осуществляется так: для определения или формулы найти продолжение. Выполненная работа проверяется взаимопроверкой, с выставлением оценки в таблицу самооценки.

n · log a x ;

log a a

log a ( x · y )

log a x − log a y

log a 1

log a ( x : y )

log a x + log a y

log a x n

log 3 27

log 2 4

5) Дидактическая игра « Путешествие по солнечной системе».

Этот этап урока имеет свое название «Путешествие по Солнечной системе». Давайте вспомним сколько планет в Солнечной системе? Всего 9 планет. Они обозначены квадратиками на приведенной схеме. От каждого квадрата проведено несколько стрелок. Стрелки означают возможные этапы нашего воображаемого путешествия от планеты к планете. Мы должны посетить все планеты, не побывав дважды ни на одной из них. Но на нашей схеме к каждому квадратику проведены 3 или даже более стрелок. Это значит, что всякий раз нам предлагается несколько вариантов передвижения. Но какой вариант выбрать? По какой стрелке пойти?

Верный путь нам подскажет ответ задачи, которую мы решим на каждой планете. К задаче даются от 3 до 8 вариантов ответа. Все они зашифрованы цифрами от1 до3; 5 или 8. Найдя верный ответ, мы получаем руководство к действию, то есть узнаем ту цифру, рядом с которой стоит стрелка, указывающая безошибочное на данном этапе направление движения.

Свое путешествие мы начнем с ближайшей к Солнцу планеты. Это… (Кто знает?) Да, с планеты Меркурий. Мы летим на планету Меркурий: находим карточку, где написана задача про эту планету и решаем ее. Получив ответ, находим его номер среди номеров, предложенных вариантов ответа и продолжим свой путь в направлении, какое указывает стрелкой, стоящей у найденного номера. (Класс разбит на 6 групп по 4 человека в каждой группе и каждая группа выполняет задание.)

Задача планеты Меркурий

Расстояние Меркурия от Солнца составляет приблизительно млн км. Но межпланетные расстояния принято считать не в километрах, а в астрономических единицах. Одна астрономическая единица равна расстоянию от Земли до Солнца, т.е.300 млн км. Какую часть астрономической единицы составляет расстояние от Меркурия до Солнца?

Варианты ответов:1)
; 2)
; 3) ; 4)
млн км; 5) .

Решение: 300
= (частей) стоит под номером 5. От этого номера проведена стрелка к квадрату Сатурн. Значит наше путешествие к планете Сатурн.

Задача планеты Сатурн

По своим размерам Сатурн уступает лишь Юпитеру: ее диаметр – 120000км.

У этой планеты достаточно много спутников. Диаметры наибольших из них, Титана и Реи, составляют соответственно и

части диаметра Сатурна. У кого из спутников диаметр больше.

Варианты ответов: 1) Их диаметры равны; 2) Диаметр Титана больше;

3) Диаметр Реи больше.

Решение: Диаметр Титана больше, так как и

и значит . Ответ – 2. От него стрелка направлена к квадратику Венера. Летим к этой планете. По силе блеска Венера - третье светило неба, после Солнца и Луны. Венера ближе к Солнцу, чем Земля и ее можно увидеть рядом с Солнцем во время утренней или вечерней зари.

Задача планеты Венера

Планета Венера получает от Солнца много тепла и света. Расчеты показали, что 0,5 венерианского года температура поверхности Венеры равна (240 0 С, 0,3 этого времени температура составляет С, а остальную часть года на Венере «прохладно»

0 С. Какую же часть венерианского года на поверхности планеты температура самая низкая?

Варианты ответов:

1) 0,2; 2); 3) 0.5; 4); 5)- 420 0 C ; 6)450 0 C ; 7) 480 0 C ; 8) 6.

Решение: (240 0 С=С; 0 С= Год принимается за единицу, тогда 0,5 + 0,3 = 0,8. 1 - 0,8 = 0,2 - под номером 1. Летим к планете Нептун.

Задача планеты Нептун

Земной год (годом называют период обращения планеты вокруг Солнца) равен )суток. А вот год на Нептуне не прожил бы, пожалуй, ни один человек. Год на Нептуне длится

() земного года. За сколько же земных суток Нептун делает полный оборот вокруг Солнца?

Варианты ответов: 1) 60193 ; 2)
; 3)
.

Решение: Земной год составляет суток

год на Нептуне длится() = 164 земного года.

365  164 = 60193 – под номером 1. Мы направляемся к планете Земля.

Задача планеты Земля

По астрономическим меркам, Луна находится совсем недалеко от Земли: до нее всего примерно )км. Сколько секунд займет путешествие от Земли до Луны и обратно, если воспользоваться ракетой, летящей со скоростью, близкой к скорости звука – ( мс?

Варианты ответов:

1) 2 000 000сек; 2)1000000 c ек; 3)2000 сек; 4) 1000 сек; 5)340000 сек.

Решение: 340 000км; =340 мс

340 000 км = 340 000 000 м 340 000 000: 340 м/с = 1 000 000 сек. И обратный путь займет столько же времени, значит 2 000 000 сек. Ответ под номером 1. Стрелка к планете Марс.

Задача планеты Марс

Во сколько раз ракета тяжелее на Земле, чем на Марсе, если известно, что один «земной» килограмм весит на Марсе ( кг.

Варианты ответов: 1) в 2,777… раза; 2) в 1,36 раза; 3) в 3,6 раза.

Решение: Переведем в число ( кг = 0,36. Ракета на Земле будет во столько же раз тяжелее, чем на Марсе во сколько 1 кг на Земле тяжелее, чем на Марсе, то есть 1: 0,36 = 2,777… раза.

Ответ зашифрован под номером 1. Летим к Плутону.

Задача планеты Плутон

Плутон делает полный оборот вокруг собственной оси за

Земных суток. Сколько оборотов (ответ округлить до сотых) сделает Плутон за 3 земных года? Земной год составляет

Земных суток.

Варианты ответов: 1) 173,58; 2) 171,48; 3) 777,983;

4) 777,98; 5) 57,160.

Решение: Плутон делает полный оборот ) = 6,39

Земной год составляет = 365, 25 суток

365,25  3 = 1095, 75 (земных суток за 3 года). За это время Плутон

1095, 75: 6,39 = 171, 478…Округляем до сотых 171,48. Ответ зашифрован под номером 2. Летим к планете Уран. Эта планета окружена огромным количеством облаков, которые движутся с большими скоростями.

Задача планеты Уран

Облака на этой планете могут мчаться со скоростью от

Км час до скорости, в полтора раза большей. Найти разность между максимальной и минимальной скоростями движения облаков.

Варианты ответов: 1)
кмчас; 2) 248кмчас; 3) кмчас; 4) 251кмчас; 5) 125,15 кмчас.

Решение: Максимальная скорость= 250,3км/час

250,3  1,5 = 375,45 км/ч. Минимальная – 250,3 км/ч. Тогда разность между ними 375,45 – 250,3 = 125,15 км/ч.

Задача планеты Юпитер

Масса планеты Сатурн в 3,3 раза меньше массы планеты Юпитер, масса которого в 20,9 раза больше массы Урана, масса которого в 1,5 раза меньше массы планеты Нептун, масса которого больше массы Венеры в 2 раза. Найти массу планеты Юпитер, если масса Венеры .

Варианты ответов: 1) 11286; 2) 23357; 3) 22987.

Решение: Венера –= 405; значит Нептун – 810; Уран – 540; Юпитер – 540  20,9 = 11286.

Подведем итог путешествию по Солнечной системе в таблице самооценки.

6)Самостоятельная работа(тестовые задания)

Вариант №1.
1. Найдите значение выражения:

а)-2; б)4; в)-4; г)

2. Найдите значение выражения:

а)2,36; б)1,64; в)-2,36; г) 0,8.

3. Найдите значение выражения:

а)-; б)4; в)1; г) .

4. Найдите значение выражения:

3 + log 30 3 + log 30 10.

а)-3; б)4; в)-4; г) .

5. Найдите х, если:

; б)4; в)-8; г)

а); б)4; в)6; г) .

5. Найдите значение выражения:

а)36; б)81; в)243; г)216.

Собрав листы с ответами, ребята обменявшись тетрадями с соседом, проверяют (ответы приводится на слайде 10) и оценивают друг друга, выставляя оценку в таблицу.

7)Данный этап занятия обозначен как «Умение проводить экспертизу», это значит вы должны посчитать итоговую оценку за занятие. Подводят итог.

8)Этап «Найди ошибку» оценивается индивидуально, т.е. кто найдет ошибку в задании, тот и получает дополнительную оценку в журнал. На слайде 11 приводится решение математического софизма.

Логарифмический софизм.

Начнем с неравенства , бесспорно верного. Затем следует преобразование , тоже не вызывающее сомнений. Большему значению соответствует больший логарифм, значит, , т.е. .
После сокращения на , имеем 2>3.

Ответ был дан студентом Лапиным Олегом, он догадался, что число

lg = - lg 2 отрицательное и знак неравенства необходимо было поменять на противоположный, тогда 2< 3.

9)Дополнительная информация о логарифмах.

Где в жизни, на практике, в природе, встречаются логарифмы,

которые могут использоваться в повседневной жизни, а также в

каких областях других наук используются логарифмы (использование

презентации, приложение 2). По данному вопросу выступит Владимир Скалий.

III . Заключительный этап

Домашнее задание№14,15,16,17 из дополнительных источников;

Итог занятия: ребята подсчитав средний результат по четырем этапам, получают оценку за занятие. Кто поставил себе за работу на уроке отлично? Хорошо? Кто считает, что ему надо еще повторить этот материал?

Отличившимся студентам выставляется по две оценки.

Заключительное слово преподавателя:

Обратили внимание на лесенку, если вы за нашу пару продвинулись хотя бы на одну ступеньку вверх, т. е. вы узнали что-то новое, то это уже успех!

Так как человек, который сдвинул гору, начинал с того, что перетаскивал с места на место мелкие камни!

Самоанализ открытого занятия.

1.Общая характеристика группы.
Открытое занятие проводилось в группе ЭПСл-13143. Студенты данной группы имеют средний и ниже среднего уровни мотивации к обучению, довольно развитые способности к изучению математики у половины группы, остальная часть группы стараются, делают попытки что- то понять и усвоить.

2.Определение целей, задач урока, формы его проведения.

Результаты проведенного занятия позволяют сделать вывод о правильности выбора целей, определения задач и формы проведения занятия. В ходе занятия были закреплены определение, основные свойства логарифма, освоенные знания были применены для решения конкретных примеров. Применение разнообразных методов способствовало развитию у студентов математического вкуса и интуиции; формированию логики мышления. Форма проведения занятия способствовала развитию культуры научных и учебных взаимоотношений между студентами, между студентами и преподавателем. Решая задания студенты осознали необходимость умения вести дискуссию и излагать свои идеи, грамотно ссылаться на математические факты и понятия. На занятии царила атмосфера сотрудничества.

3.Структура занятия.

Структура занятия находится в полном соответствии с поставленными задачами. Каждый этап занятия являлся полноправной, логически обоснованной и завершенной частью схемы занятия. В ходе занятия были проконтролированы знания студентов теоретического материала по данной теме. В работе по теоретическому материалу основная масса студентов продемонстрировала живой интерес к данной теме. В процессе решения конкретных примеров ребята дискутировали, предлагали свои подходы к решению задач, активно принимались за решение задач, в том числе и предложенных к самостоятельному решению. Всему этому способствовали применяемые методы обучения, используемые на занятии.

4.Итоги урока.

План открытого занятия выполнен полностью; цели урока достигнуты, формы и методы соответствовали поставленным целям. Структура и логика построения занятия способствовали достижению цели. В ходе занятия студенты были включены в активную познавательную деятельность.

Проведенное открытое занятие продемонстрировало заинтересованность студентов, способствовало формированию у каждого из них собственных методов организации научной и учебно-познавательной деятельности.

Результаты обучения ориентированы на самооценку студентов, на формирование адекватной самооценки. На занятии проводилась оценка промежуточных результатов обучения, велась динамика результатов обучения студентов относительно самих себя.

ГБПОУ «Ржевский колледж»

План-конспект открытого урока

По предмету: «Алгебра и начала математического анализа»

в группе 1 курса ГБПОУ «Ржевский колледж»

на тему «Свойства логарифма»

Разработал: преподаватель математика Сергеева Т.А.

Ржев, 2016

Тема урока . Свойства логарифма

Тип урока. Изучения и закрепления новых знаний. Применения знаний на практике

Технология урока.

Информационно-коммуникационные, развития исследовательских навыков, дифференцированного подхода в обучении.

Цель урока .

Создать условия для личностной самореализации каждого обучающегося в процессе изучения темы: «Свойства логарифмов », способствовать развитию личностных, учебно-познавательных, коммуникативных компетенций.

Задачи.

Образовательные: Актуализировать знания учащихся по теме «Свойства логарифмов»; Формирование умений решать логарифмические выражения. Обобщить и систематизировать приобретенные знания по теме « Логарифм».

Развивающие: Содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать; развивать навыки построения логической цепи рассуждений; способствовать развитию самостоятельного решения проблем, навыков взаимоконтроля и самоконтроля; развивать грамотную математическую речь

Воспитательные: Вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке; Способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности; Развивать интерес к урокам математики.

Выбор содержания учебного материала, методов, форм работы на уроке: Основной дидактический метод: проблемный и частично поисковый. Частные методы и приемы: фронтальная и индивидуальная работа

Планируемые образовательные результаты.

Предметные УУД: освоение систематических знаний, их преобразование, применение и самостоятельное пополнение, владение представлениями о логарифмах и их свойствах.

Личностные УУД: проявлять внимание и интерес к учебному процессу, уметь анализировать, оценивать ситуацию, оценивать собственную учебную деятельность, проявлять самостоятельность, инициативу, ответственность, сравнивать разные точки зрения, считаться с мнением другого, уметь работать в парах и группах, аргументировать свою точку зрения.

Метапредметные УУД:

Регулятивные УУД: умение применять и сохранять учебную задачу, планировать решение задания, вносить изменения в процесс, намечать способы устранения ошибок, осуществлять итоговый контроль.

Познавательные УУД : уметь искать и обрабатывать информацию, записывать ее и воспринимать; использовать модели, знаки, символы и схемы; осуществлять логические операции: анализ, синтез, сравнение, подведение под понятие, аналогия, суждение, выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий.

Коммуникативные УУД: формировать умение сотрудничать с учителем и сверстниками при решении учебной задачи, принимать на себя ответственность за результат своих действий; формировать умение слушать и вступать в диалог; формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; воспитывать чувство взаимопомощи, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и к своей работе.

Основные термины, понятия. Свойства степени с действительным показателем, определение логарифма, виды логарифмов, основное логарифмическое тождество.

Оборудование компьютер, мультимедийный проектор, презентация «Логарифм», раздаточный материал, учебное пособие А.Г.Мордкович «Алгебра 10-11».

План урока

1. Вводно - мотивационная часть . (1 мин )

1.1. Организационный момент.

1.2.

2. Основная часть урока . (36 мин )

2.1 15 мин

2.2. 7 мин

2.3. 7 мин

2.4. 7 мин

3. Рефлексивно-оценочная часть урока. (8 мин)

3.1. Домашнее задание. 1 мин

3.2. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. 6 мин .

3.3. Рефлексия. 1 мин

Ход урока

1. Вводно - мотивационная часть .

1.1. Организационный момент.

Взаимное приветствие; проверка присутствующих на уроке по классному журналу, подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид);

1.2. Мотивация к учебной деятельности.

- Какой раздел алгебры мы с вами изучаем ? (Логарифмы) (Слайд 1)

- Что вам уже известно по данному разделу алгебры?

(Определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифма, логарифмическую функцию, построение графиков логарифмических функций вычисление и преобразование логарифма)

- Дайте определение логарифма. (Слайд 2)

- Что следует из определения логарифма. (Основное логарифмическое тождество)

- Запишите в тетради основное логарифмическое тождество.

- Перед вами «Оценочный лист», заполните его, написав свою ФИО и группу. На уроке по этому листу будут оцениваться ваши знания по данной схеме, а полученные результаты фиксируются в нем (Приложение 1) . Оценка за сегодняшний урок будет рассчитываться исходя из полученного среднего балла который вы будете рассчитывать самостоятельно.

- В соответствии с критериями, записанными в «Оценочном листе», поставьте себе оценку за знание теоретического материала.

2. Основная часть урока .

2. 1. Самостоятельная деятельность по известной норме и организация учебного затруднения.

- Вы повторили все теоретические знания по данному разделу, проверим это на практике

Считаем устно (Слайд 3)

В соответствии с критериями, записанными в «Оценочном листе», поставьте себе оценку за правильные вычисления.

- Теперь эти знания применим для решения заданий: Открываем рабочие тетради и выполняем задания с карточек. (Слайд 4 )

Самостоятельная работа №1 ,

Вариант 1

Вариант 2

- Передайте тетрадь соседу по парте. Проверим правильность решения. (Слайд 5 )

(Ученики сверяют решения в тетради и фиксируют правильные ответы)

Теперь скажите:

- Что применяли при решении задания?

(Свойства степеней. Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество.)

В чем вы видите трудности решения?

Какие задания вы не смогли решить и в чем проблема? (№№8, 9)

В чем причина затруднения?

(Недостаточно знаний)

- В соответствии с критериями, записанными в карте, поставьте себе отметку за самостоятельную работу №1.

2.2. Построение проекта выхода из затруднения.

Теперь нам необходимо разобрать задания которые вызвали у вас затруднения.

- Что мы должны знать, чтобы выполнить действия с логарифмами?

(Свойства логарифмов). (Слайд 6 )

- Работаем в группах(3 группы). Один ученик работает у доски, группа помогает найти правильное решение.

1группа : Выполните преобразования

, где
и

В нашем примере стоит знак «+», по свойствам степеней показатели степени складываются, если основания одинаковые и действие «умножение»

Из этого следует

2 группа : Выполните преобразования

При выполнении преобразований выражения содержащих логарифмы используются различные свойства.

Что говорит нам основное логарифмическое тождество

- Вернемся к примеру 8 из самостоятельной работы №1

Перепишем его применяя основное логарифмическое тождество и получаем

Из определения мы знаем, что логарифм – это показатель степень в которую нужно возвести основание , чтобы получить положительное число, где
и

В нашем примере стоит знак «-», по свойствам степеней показатели степени вычитаем если основания одинаковые и действие «деление»

4. Реализация построенного проекта.

Положительный результат это еще не доказательство. Докажем полученные равенства.

Свойство 1 учитель доказывает вместе с учениками.

1 вариант доказывает свойство 2.

2 вариант доказывает свойство 3.

5. Первичное закрепление умений и навыков.

- Теперь попробуем решить примеры (Работа у доски) (Слайд7)

Ученик решает у доски группа помогает

8. Рефлексия.

- За работу на уроке …… получают оценки, выставьте их в «Оценочный лист». Подведите итог и проставьте итоговую оценку. После проверки ваших работ в «Оценочный лист» я выставлю вам свою итоговую оценку с учетом активности на уроке, а на следующем занятии мы их сравним.

Знакомство с логарифмом – не заканчивается, на следующих уроках мы будем решать уравнения и неравенства. В завершении хочу напомнить фразу французского учённого (Слайд10) Лапласа: «Логарифмы сократили вычисления, удлиняя нам жизнь».

Пожелаю вам, чтобы знакомство с логарифмами и вам помогли в жизни, удлиняя ее и добавляя в неё красоту.

Всем с пасибо за урок.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели и задачи урока:

рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
дать понятие десятичного и натурального логарифма;
овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию;
научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
вычислять значения несложных логарифмических выражений.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Методическое обеспечение: проектор, презентация к уроку, учебники, индивидуальные карточки.

Ход занятия

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала. Сообщается тема и цель урока. (Слайд 2)

2. Актуализация знаний

В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной

роли логарифмов в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркивает значение десятичных и натуральных логарифмов.

3. Повторение ранее изученного материала

Экспресс-опрос

Преподаватель задает вопросы:

а) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.

б) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах

в) Решить устно примеры:

4. Изучение нового материала

План

1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.

2. Основное логарифмическое тождество.

2. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.

3. Десятичный логарифм.

4. Натуральный логарифм.

Преподаватель излагает новый учебный материал

Логарифм числа

Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.

Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения не вызывает труда. Так как то данное уравнение примет вид Поэтому уравнение имеет единственное решение

А теперь попробуем решить уравнение По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е. Тогда выполняется равенство или Но в любой натуральной степени будет числом четным, а в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения записали так: (читается: логарифм числа по основанию

Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что необходимо найти показатель степени т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени и возникает понятие логарифма числа по основанию

дается определение логарифма (Слайд 3)

Например

а) log 3 81 = 4, так как 3 4 = 81;

б) log 5 125 = 3, так как 5 3 = 125;

в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5) -4 = 16;

г) , так как ==

Введение основного логарифмического тождества (Слайд 4)

Обратите внимание на то, что является корнем уравнения , а поэтому =8

Таким образом и получается основное логарифмическое тождество

Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.

Решить примеры согласно тождеству: ;

5; .

Подчеркнем, что и одна и таже математическая модель

Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. (Слайд5) Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните.

Возведение в степень	Логарифмирование

Основные свойства логарифмов (Слайд 6)

Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.

При любом a > 0 (a 1) и любых положительных x и y выполнены равенства:

log a 1 = 0.
log a a = 1.
log a xy = log a x + log a y.
log a = log a x - log a y.
log a x p = p log a x

для любого действительного p.

Решить примеры устно. Найти x

Десятичные и натуральные логарифмы (Слайд 7)

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10.

Логарифмом положительного числа по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа в и обозначается, т.е. вместо пишут .; б)

Какая тема была изучена на уроке?
Достигнута ли цель урока?

Учащиеся призваны воспроизвести в памяти то, что усвоили, и проанализировать выводы, которые были сделаны в течение всего занятия.

Что вам сегодня больше всего запомнилось на уроке, что понравилось?

Методическая разработка учебного занятия по математике

«Логарифмы и их свойства»

Цель урока:

Задачи урока :

Развить у учащихся умения сравнить, сопоставлять, анализировать, делать самостоятельные выводы.

Тип урока : Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Ключевые слова: логарифм; свойства логарифма.

Программное обеспечение : MS Power Point.

Межпредметные связи : история.

Внутрипредметные связи : «Корень n-ой степени и их свойства».

План урока

Организационный момент.

Повторение пройденного материала.

Объяснение нового материала.

Закрепление.

Самостоятельная работа.

Домашнее задание. Подведение итогов урока.

Ход урока:

Оргмомент:

Добрый день, обучающиеся.

Повторение пройденного материала.

Учащимся предлагается вспомнить:

Что такое степень, основание и показатель.

Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а . 3 4 = 81.

2) Основные свойства степеней.

3. Сообщение новой темы.

Зададим вопрос:

Аналогично второй пример.

Дадим определение логарифма.

Определение . Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b .

Логарифмом числа b по основанию a обозначаетсяl og a b.

История возникновения логарифма:

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

Рассмотрим примеры:

log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2; log 5 1/125=-3; log -2 -8- не существует; log 5 1=0; log 4 4=1

Рассмотрим такие примеры:

1 0 . log a 1=0, а>0, a ≠ 1;

2 0 . log a а=1, а>0, a ≠ 1.

Эти две формулы являются свойствами логарифма. Запишите свойства и их необходимо запомнить.

В математике принято следующее сокращение:

log 10 а= lg а- десятичный логарифм числа а (буква «о» пропускается, а основание 10 не ставят).

log е а= l n а - натуральный логарифм числа а. «е» - это такое иррациональное число, равное  2,7 (буква «о» пропускается, а основание «е» не ставят).

Рассмотрим примеры:

lg 10=1; lg 1=0

ln e=1 ; ln 1=0 .

Как перейти из логарифмического равенства к показательному: log а b =с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а , чтобы получить b . Следовательно, а степени с равен b : а с = b .

lg 1 = 2 (10 2 =100)- это равенство не верное.

log 1/2 4 = 2- это равенство не верное.

log 3 1=1 - это равенство не верное.

log 1/3 9 = -2 - это равенство верное.

log 4 16 = -2- это равенство не верное.

Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b

Рассмотрим пример.

5 log 5 13 =13

Свойства логарифмов:

3°. log а ху = log а х + log а у.

4°. log а х/у = log а х - log а у.

5°. log а х p = p · log а х, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log 2 8 + log 2 32= log 2 8∙32= log 2 256=8

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9

3∙3 = 9

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

Эта формула потребуется при вычислении логарифма по калькулятору. Возьмем пример: log 3 7 = lg 7 / lg 3. В калькуляторе можно вычислить только десятичный и натуральный логарифм. Вводим цифру 7 и нажмем кнопку «лог», также вводим цифру 3 и нажмем кнопку «лог», делим верхнее значение на нижнее и получаем ответ.

Закрепление.

Для закрепления новой темы решим примеры. Пример 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

log 6 6

log 0,5 1

log 6 3+ log 6 2

log 3 6- log 3 2

log 4 4 8

log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6

log 5 5 3 = 2;

log 3 45 - log 3 5 = log 3 40

3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)

log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;

2∙log 5 6 = log 5 12

3∙log 2 3 = log 2 27

log 2 16 2 = 8.

Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам.

Вариант 1. Вычислите:

log 4 16 log 25 125 log 8 2 log 6 6 Вариант 2. Вычислите:

log 3 27 log 4 8 log 49 7 log 5 5

Подведение итогов. Домашнее задание. Выставление оценок.