Показательные уравнения. Как известно — в состав ЕГЭ входят простые уравнения. Некоторые мы уже рассмотрели – это логарифмические, тригонометрические, рациональные. Здесь представлены показательные уравнения.

В недавней статье мы поработали с показательными выражениями, будет полезно. Сами уравнения решаются просто и быстро. Требуется лишь знать свойства показателей степени и... Об этом далее.

Перечислим свойства показателей степени:

Нулевая степень любого числа равна единице.

Следствие из данного свойства:

Ещё немного теории.

Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть это уравнение вида:

f (x ) выражение, которое содержит переменную

Методы решения показательных уравнений

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:

Тогда применяем свойство:

2. При получении уравнения вида a f ( x ) = b используется определение логарифма, получим:

3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:

Применяется логарифмирование:

Выражаем и находим х.

В задачах вариантов ЕГЭ достаточно будет использовать первый способ.

То есть, необходимо представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием, а далее приравниваем показатели и решаем обычное линейное уравнение.

Рассмотрим уравнения:

Найдите корень уравнения 4 1–2х = 64.

Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:

4 1–2х = 4 3

1 – 2х = 3

– 2х = 2

х = – 1

Проверка:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Ответ: –1

Найдите корень уравнения 3 х–18 = 1/9.

Известно, что

Значит 3 х-18 = 3 -2

Основания равны, можем приравнять показатели:

х – 18 = – 2

х = 16

Проверка:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Ответ: 16

Найдите корень уравнения:

Представим дробь 1/64 как одну четвёртую в третьей степени:

2х – 19 = 3

2х = 22

х = 11

Проверка:

Ответ: 11

Найдите корень уравнения:

Представим 1/3 как 3 –1 , а 9 как 3 в квадрате, получим:

(3 –1) 8–2х = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 –8+2х = 3 2

Теперь можем приравнять показатели:

– 8+2х = 2

2х = 10

х = 5

Проверка:

Ответ: 5

26654. Найдите корень уравнения:

Решение:

Ответ: 8,75

Действительно, в какую бы степень мы не возвели положительное число a, мы никак не можем получить число отрицательное.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к реше­нию одного или нескольких простейших. В данной рубрике мы ещё рассмотрим решение некоторых уравнений, не пропустите! На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Оборудование:

• компьютер,
• мультимедийный проектор,
• экран,
• Приложение 1 (слайдовая презентация в PowerPoint) “Методы решения показательных уравнений”
• Приложение 2 (Решение уравнения типа “Три разных основания степеней” в Word)
• Приложение 3 (раздаточный материал в Word для практической работы).
• Приложение 4 (раздаточный материал в Word для домашнего задания).

Ход урока

1. Организационный этап

• сообщение темы урока (записана на доске),
• необходимость проведения обобщающего урока в 10-11 классах:

Этап подготовки учащихся к активному усвоению знаний

Повторение

Определение.

Показательным уравнением называется уравнение, содержащее переменную в показателе степени (отвечает учащийся).

Замечание учителя. Показательные уравнения относятся к классу трансцендентных уравнений. Это труднопроизносимое название говорит о том, что такие уравнения, вообще говоря, не решаются в виде формул.

Их можно решать только приближенно численными методами на компьютерах. А как же быть с экзаменационными задачами? Вся хитрость состоит в том, что экзаменатор так составляет задачу, что она как раз допускает аналитическое решение. Иными словами, Вы можете (и должны!) проделать такие тождественные преобразования, которые сводят данное показательное уравнение к самому простому показательному уравнению. Это самое простое уравнение так и называется: простейшее показательное уравнение. Оно решается логарифмированием.

Ситуация с решением показательного уравнения напоминает путешествие по лабиринту, который специально придуман составителем задачи. Из этих весьма общих рассуждений следуют вполне конкретные рекомендации.

Для успешного решения показательных уравнений необходимо:

1. Не только активно знать все показательные тождества, но и находить множества значений переменной, на которых эти тождества определены, чтобы при использовании этих тождеств не приобретать лишних корней, а тем более, – не терять решений уравнения.

2. Активно знать все показательные тождества.

3. Четко, подробно и без ошибок проделывать математические преобразования уравнений (переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, не забыв про смену знака, приводить к общему знаменателю дроби и тому подобное). Это называется математической культурой. При этом сами выкладки должны делаться автоматически руками, а голова должна думать об общей путеводной нити решения. Делать преобразования надо как можно тщательней и подробней. Только это даст гарантию верного безошибочного решения. И помнить: небольшая арифметическая ошибка может просто создать трансцендентное уравнение, которое в принципе не решается аналитически. Выходит, Вы сбились с пути и уперлись в стенку лабиринта.

4. Знать методы решения задач (то есть знать все пути прохода по лабиринту решения). Для правильного ориентирования на каждом этапе Вам придется (сознательно или интуитивно!):

• определить тип уравнения ;
• вспомнить соответствующий этому типу метод решения задачи.

Этап обобщения и систематизации изученного материала.

Учителем совместно с учащимися с привлечением компьютера проводится обзорное повторение всех видов показательных уравнений и методов их решения, составляется общая схема. (Используется обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского "Курс математики – 2000", автор презентации в PowerPoint – Т.Н. Купцова.)

Рис. 1. На рисунке представлена общая схема всех типов показательных уравнений.

Как видно из этой схемы стратегия решения показательных уравнений состоит в том, чтобы привести данное показательное уравнение к уравнению, прежде всего, с одинаковыми основаниями степеней , а затем – и с одинаковыми показателями степеней.

Получив уравнение с одинаковыми основаниями и показателями степеней, Вы заменяете эту степень на новую переменную и получаете простое алгебраическое уравнение (обычно, дробно-рациональное или квадратное) относительно этой новой переменной.

Решив это уравнение и сделав обратную замену, Вы в результате приходите к совокупности простейших показательных уравнений, которые решаются в общем виде с помощью логарифмирования.

Особняком стоят уравнения, в которых встречаются лишь произведения (частные) степеней. Воспользовавшись показательными тождествами, удается эти уравнения привести сразу к одному основанию, в частности, – к простейшему показательному уравнению.

Рассмотрим, как решается показательное уравнение с тремя разными основаниями степеней.

(Если у учителя есть обучающая компьютерная программа Л.Я. Боревского "Курс математики – 2000" , то естественно работаем с диском, если нет – можно на каждую парту сделать распечатку такого типа уравнения из нее, представленную ниже.)

Рис. 2. План решения уравнения.

Рис. 3. Начало решения уравнения

Рис. 4. Окончание решения уравнения.

Выполнение практической работы

Определить тип уравнения и решить его.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Подведение итогов урока

Выставление оценок за урок.

Окончание урока

Для учителя

Схема ответов практической работы.

Задание: из списка уравнений выбрать уравнения указанного типа (№ ответа занести в таблицу):

1. Три разных основания степеней
2. Два разных основания – разные показатели степени
3. Основания степеней – степени одного числа
4. Одинаковые основания – разные показатели степеней
5. Одинаковые основания степеней – одинаковые показатели степеней
6. Произведение степеней
7. Два разных основания степеней – одинаковые показатели
8. Простейшие показательные уравнения

1. (произведение степеней)

2. (одинаковые основания – разные показатели степеней)

На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.

Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!

При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.

Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.

Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.

Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.

Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.

Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!

На данном уроке мы рассмотрим решение более сложных показательных уравнений, вспомним основные теоретические положения касательно показательной функции.

1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция - это функция вида , где основание степени и Здесь х - независимая переменная, аргумент; у - зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции :

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

2. Решение типовых показательных уравнений

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель - свести каждое из них к простейшему.

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

В первом случае получаем

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

4. Примеры решения однородных уравнений

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену: (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда .

Начальный уровень

Показательные уравнения. Исчерпывающее руководство (2019)

Привет! Сегодня мы обсудим с тобой, как решать уравнения, которые могут быть как элементарными (а я надеюсь, что после прочтения этой статьи почти что все они и будут для тебя таковыми), так и такими, которые обычно дают «на засыпку». Видимо, чтобы засыпать окончательно. Но я постараюсь сделать все возможное, чтобы уж теперь ты не попал впросак, столкнувшись с таким типом уравнений. Я не буду больше ходить вокруг да около, а сразу открою маленький секрет: сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Прежде чем переходить к разбору способов их решений, я сразу обрисую перед тобой круг вопросов (достаточно небольшой), который тебе стоит повторить, прежде чем бросаться на штурм этой темы. Итак, для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

1. Свойства и
2. Решение и уравнений

Повторил? Замечательно! Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения является число. Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно в третьей степени? Ты абсолютно прав: . А восьмерка - это какая степень двойки? Правильно - третья! Потому что. Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я раз умножаю само на себя число и получаю в результате. Спрашивается, сколько раз я умножил само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align}

Тогда ты можешь сделать вывод, что само на себя я умножал раза. Как еще это можно проверить? А вот как: непосредственно по определению степени: . Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем, ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать само на себя до посинения. И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость - сестра таланта)

где - это и есть те самые «разы» , когда ты умножаешь само на себя.

Я думаю, что ты знаешь (а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что, тогда моя задачка запишется в виде:

Откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

И даже нашел его корень . Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же. Вот тебе еще один пример:

Но что же делать? Ведь нельзя записать в виде степени (разумной) числа. Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа. Какого? Верно: . Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Откуда, как ты уже понял, . Давай более не будем тянуть и запишем определение :

В нашем с тобой случае: .

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

c последующим решением уравнения

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что. И мы решали с тобой простейшее уравнение.

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа. Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число. Но, ничего страшного, ведь, и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом? Правило «степени в степени» , которое гласит:

А что если:

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше, тем меньше значение, но тем не менее, все эти значения больше нуля. И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!! Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! (для любых и). Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении? А вот какой: оно корней не имеет ! Как не имеет корней и любое уравнение. Теперь давай потренируемся и порешаем простые примерчики:

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!) Как правило, все приводят к наименьшему основанию: , . Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: Все, что мне нужно - это воспользоваться свойствами степеней: при умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении - вычитаются. Тогда я получу: Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному: \begin{align}
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x=0. \\
\end{align}

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить и в виде степени одного и того же числа. В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

Левая часть уравнения примет вид: Что же нам это дало? А вот что: Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

Применительно к моей ситуации это даст:

\begin{align}
& 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}=6400, \\
& 4\cdot {{(64\cdot 25)}^{x}}=6400, \\
& {{1600}^{x}}=\frac{6400}{4}, \\
& {{1600}^{x}}=1600, \\
& x=1. \\
\end{align}

Неплохо, правда?

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой - ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай). Перенесу слагаемое с минусом вправо:

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

Ты без труда найдешь его корень:

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом - место в правой части!

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего? Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав: . Эврика - слева все основания разные, но все степени - одинаковые! Срочно перемножаем!

Тут опять-таки все ясно: (если ты не понял, каким волшебным образом я получил последнее равенство, оторвись на минуту, передохни и прочитай свойства степени еще раз очень внимательно. Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:

\begin{align}
& {{2}^{4\left({x} -9 \right)}}={{2}^{-1}} \\
& 4({x} -9)=-1 \\
& x=\frac{35}{4}. \\
\end{align}

Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!

Готов? Ответы вот такие:

1. любое число

Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые - весьма краткие!)

Тебе не кажется неслучайным, что одна дробь слева - это «перевернутая» другая? Грех будет этим не воспользоваться:

Это правило очень часто используется при решении показательных уравнений, запомни его хорошенько!

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

Решив это квадратное уравнение, ты получишь вот такие корни:

2. Еще один прием решения: деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее слева (или справа). Разделю на то, что справа, тогда получу:

Откуда (почему?!)

3. даже не хочу повторятся, настолько все уже «разжевано».

4. равносильно квадратному уравнению, корни

5. Нужно воспользоваться формулой, приведенной в первой задаче, тогда получишь, что:

Уравнение превратилось в тривиальное тождество, которое верно при любом. Тогда ответ - это любое действительное число.

Ну что же, вот ты и потренировался решать простейшие показательные уравнения. Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе. Здесь я приведу два примера. Один из них вполне повседневен, ну а другой - скорее имеет научный, нежели практический интерес.

Пример 1 (меркантильный) Пусть у тебя есть рублей, а тебе хочется превратить его в рублей. Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением). Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму? Вполне приземленная задача, не так ли? Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения: Пусть - начальная сумма, - конечная сумма, - процентная ставка за период, - количество периодов. Тогда:

В нашем случае (если ставка годовых, то за месяц начисляют). А почему делится на? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему « »! Тогда мы получим вот такое уравнение:

Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю: … Таким образом, для получения млн. нам потребуется сделать вклад на месяц (не очень быстро, не правда ли?).

Пример 2 (скорее научный). Несмотря на его, некоторую «оторванность», рекомендую тебе обратить на него внимание: он регулярно «проскальзывает в ЕГЭ!! (задача взята из «реального» варианта) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону, где (мг) — начальная масса изотопа, (мин.) — время, прошедшее от начального момента, (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа мг. Период его полураспада мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна мг? Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:

Разделим обе части на, «в надежде», что слева мы получим что-нибудь удобоваримое:

Ну что же, нам очень повезло! Слева стоит, тогда перейдем к равносильному уравнению:

Откуда мин.

Как видишь, показательные уравнения имеют вполне реальное приложение на практике. Теперь я хочу разобрать с тобой еще один (нехитрый) способ решения показательных уравнений, который основан на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых. Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое. Ясно, что первое и третье - это разность квадратов:

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

Тогда исходное выражение равносильно такому:

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

Следовательно,

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом - будь что будет, я верю, что нам будет везти =)) Например:

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева - немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель а от второго, а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее. Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении» , так не лучше ли мне вынести? Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

Посчитай выражение в скобках. Волшебным, магическим образом получается, что (удивительно, хотя чего нам еще ждать?).

Тогда сократим обе части уравнения на этот множитель. Получим: , откуда.

Вот пример посложнее (совсем немного, правда):

Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания! Не совсем ясно, что же теперь делать. А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:

Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:

Ну и что теперь? В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:

Ну а теперь сделаем так, чтобы слева у нас было только выражение с, а справа - все остальное. Как нам это сделать? А вот как: Разделить обе части уравнения сначала на (так мы избавимся от степени справа), а затем разделим обе части на (так мы избавимся от числового множителя слева). Окончательно получим:

Невероятно! Cлева у нас стоит выражение, а справа - просто. Тогда тут же делаем вывод, что

Вот тебе еще один пример на закрепление:

Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.

Теперь итоговое закрепление пройденного материала. Постарайся самостоятельно решить следующие задачи. Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:

1. Вынесем общий множитель за скобки: Откуда
2. Первое выражение представим в виде: , разделим обе части на и получим, что
3. , тогда исходное уравнение преобразуется к виду: Ну а теперь подсказка - ищи, где мы с тобой уже решали это уравнение!
4. Представь как, как, а, ну а затем подели обе части на, так ты получишь простейшее показательное уравнение.
5. Вынеси за скобки.
6. Вынеси за скобки.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Я предполагаю, что после ознакомления с первой статьей, в которой рассказывалось что такое показательные уравнения и как их решать , ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я разберу еще один метод решения показательных уравнений, это

«метод введения новой переменной» (или замены). Им решается большинство «трудных» задач, на тему показательные уравнения (и не только уравнения). Этот способ - один из наиболее часто употребляемых на практике. Сперва рекомендую ознакомиться с темой .

Как ты уже понял из названия, суть этого метода - ввести такую замену переменной, что твое показательное уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить. Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» - это сделать «обратную замену»: то есть вернуться от замененного к заменяемому. Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

Пример 1:

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики. В самом деле, замена здесь - самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

Если же дополнительно представить как, то совершенно ясно, что надо заменять: конечно же, . Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни: . Что нам делать теперь? Пришло время возвращаться к исходной переменной. А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида), меня будут интересовать только положительные корни! Ты и сам без труда ответишь, почему. Таким образом, нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

Тогда, откуда.

Ответ:

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда. Однако, давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой

Пример 2.

Ясно, что скорее всего заменять придется (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение), однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно: , . Тогда можно заменять, в результате я получу следующее выражение:

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать. Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?). А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение. Не является корнем. Увы и ах…

.
Левая часть равна.
Правая часть: !
Есть! Угадали первый корень. Теперь дело пойдет легче!

Ты знаешь, про схему деления «уголком»? Конечно знаешь, ты применяешь ее, когда делишь одно число на другое. Но немногие знают, что то же самое можно делать и с многочленами. Есть одна замечательная теорема:

Применимо к моей ситуации это говорит мне о том, что делится без остатка на. Как же осуществляется деление? А вот как:

Я смотрю, на какой одночлен я должен домножить, чтобы получить Ясно, что на, тогда:

Вычитаю полученное выражение из, получу:

Теперь, на что мне нужно домножить, чтобы получить? Ясно, что на, тогда получу:

и опять вычту полученное выражение из оставшегося:

Ну и последний шаг, домножу на, и вычту из оставшегося выражения:

Ура, деление окончено! Что мы накопили в частном? Само собой: .

Тогда получили вот такое разложение исходного многочлена:

Решим второе уравнение:

Оно имеет корни:

Тогда исходное уравнение:

имеет три корня:

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

Ответ: ..

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя, скорее я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков. Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Вот пример с несколько менее очевидной заменой:

Совершенно не ясно, что нам делать: проблема в том, что в нашем уравнении два разных основания и одно основание не получается из другого возведением ни в какую (разумную, естественно) степень. Однако, что мы видим? Оба основания - отличаются только знаком, а их произведение - есть разность квадратов, равная единице:

Определение:

Таким образом, числа, являющиеся основаниями в нашем примере - сопряженные.

В таком случае разумным шагом будет домножить обе части уравнения на сопряженное число.

Например, на, тогда левая часть уравнения станет равна, а правая. Если сделать замену, то наше с тобой исходное уравнение станет вот таким:

его корни, тогда, а помня, что, получим, что.

Ответ: , .

Как правило, метода замены оказывается достаточно, для решения большинства «школьных» показательных уравнений. Следующие задачи взяты из ЕГЭ С1 (повышенный уровень сложности). Ты уже достаточно грамотный для того, чтобы самостоятельно решать данные примеры. Я лишь приведу требуемую замену.

1. Решите уравнение:
2. Найдите корни уравнения:
3. Решите уравнение: . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:

А теперь краткие пояснения и ответы:

1. Здесь нам достаточно заметить, что и. Тогда исходное уравнение будет эквивалентно вот такому: Данное уравнение решается заменой Дальнейшие выкладки проделай самостоятельно. В конце твоя задача сведется к решению простейших тригонометрических (зависящих от синуса или косинуса). Решение подобных примеров мы разберем в других разделах.
2. Здесь даже можно обойтись без замены: достаточно перенести вычитаемое вправо и представить оба основания через степени двойки: , а затем сразу перейти к квадратному уравнению.
3. Третье уравнение тоже решается довольно стандартно: представим как. Тогда заменив получим квадратное уравнение: тогда,

   Ты ведь уже знаешь, что такое логарифм? Нет? Тогда срочно читай тему !

   Первый корень, очевидно, не принадлежит отрезку а второй - непонятно! Но мы это очень скоро узнаем! Так как, то (это свойство логарифма!) Сравним:

   Вычтем из обеих частей, тогда получим:

   Левую часть можно представить в виде:

   домножим обе части на:

   можно домножить на, тогда

   Тогда сравним:

   так как, то:

   Тогда второй корень принадлежит искомому промежутку

   Ответ:

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов , так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения. Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике: «математику, как историю, за ночь не прочитаешь».

Как правило, всю сложность при решении задач С1 составляет именно отбор корней уравнения. Давай потренируемся еще на одном примере:

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

Вначале давай рассмотрим первый корень. Сравним и: так как, то. (свойство логарифмической функции, при). Тогда ясно, что и первый корень не принадлежит нашему промежутку. Теперь второй корень: . Ясно, что (так как функция при - возрастающая). Осталось сравнить и.

так как, то, в то же время. Таким образом, я могу «вбить колышек» между и. Этим колышком является число. Первое выражение меньше, а второе - больше. Тогда второе выражение больше первого и корень принадлежит промежутку.

Ответ: .

В завершение давай рассмотрим еще один пример уравнения, где замена достаточно нестандартна:

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что - в принципе можно, но лучше не делать. Можно - представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет? Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться. А что же тогда нужно? Давай заметим, что а И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения! Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на:

Эврика! Теперь можно заменять, получим:

Ну что, теперь твоя очередь решать задачки на показательные, а я приведу к ним лишь краткие комментарии, чтобы ты не сбился с верного пути! Удачи!

1. Самая трудная! Замену здесь усмотреть ох как негелко! Но тем не менее этот пример вполне решаем при помощи выделения полного квадрата . Для его решения достаточно заметить, что:

Тогда вот тебе и замена:

(Обрати внимание, что здесь при нашей замене мы не можем отбрасывать отрицательный корень!!! А почему, как ты думаешь?)

Теперь для решения примера тебе осталось решить два уравнения:

Оба они решаются «стандартной заменой» (зато второй в одном примере!)

2. Заметь, что и сделай замену.

3. Разложи число на взаимно-простые сомножители и упрости полученное выражение.

4. Подели числитель и знаменатель дроби на (или, если тебе так больше по душе) и сделай замену или.

5. Заметь, что числа и - сопряженные.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В дополнение давай рассмотрим еще один способ - решение показательных уравнений методом логарифмирования . Не могу сказать, что решение показательных уравнений этим методом очень уж популярно, однако в некоторых случаях только он способен привести нас к правильному решению нашего уравнения. Особенно часто он используется для решения так называемых «смешанных уравнений »: то есть таких, где встречаются функции разного вида.

Например, уравнение вида:

в общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

Давай рассмотрим следующий пример:

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только. Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию:

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу. Давай потренируемся еще на одном примере:

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию, тогда получим:

Сделаем замену:

Однако, мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах? Ведь тогда:

что не удовлетворяет требованию (подумай откуда оно взялось!)

Ответ:

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений приведенных ниже:

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию, учитывая, что:

(второй корень нам не подходит ввиду замены)

2. Логарифмируем по основанию:

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Показательное уравнение

Уравнение вида:

называется простейшим показательным уравнением.

Свойства степеней

Подходы к решению

• Приведение к одинаковому основанию
• Приведение к одинаковому показателю степени
• Замена переменной
• Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных.