Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: стандартный учебник в первую очередь даёт определение производной, её геометрический, механический смысл. Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных .

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий подход: прежде всего, целесообразно ХОРОШО ПОНЯТЬ предел функции , и, в особенности,бесконечно малые величины . Дело в том, что

определение производной базируется на понятии предела, которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной. Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций. Заодно освоите/вспомните их решение.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно

научиться находить производные, в том числе производные сложных функций. Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется всегда. В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать мастером дифференцирования, даже не осознавая сущности своих действий.

К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производной , где, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции. Но можно и повременить. Дело в том, что многие приложения производной не требуют её понимания, и неудивительно, что теоретический урок появился достаточно поздно – когда мне потребовалось объяснятьнахождение интервалов возрастания/убывания и экстремумов функции. Более того, он довольно долго находился в теме «Функции и графики », пока я всётаки не решил поставить его раньше.

Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным.

Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции

Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример. Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже

спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.

Рассмотрим некоторую дорогу (вид сбоку):

На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо . Для простоты полагаем, что функциянепрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика?

На интервалах функциявозрастает , то есть каждое следующее её значениебольше предыдущего. Грубо говоря, график идётснизу вверх (забираемся на горку). А на интервалефункцияубывает – каждое следующее значениеменьше предыдущего, и наш график идётсверху вниз (спускаемся по склону).

Также обратим внимание на особые точки. В точке мы

достигаем максимума , то естьсуществует такой участок пути, на котором значениебудет самым большим (высоким). В точке жедостигаетсяминимум , исуществует такая её окрестность, в которой значениесамое маленькое (низкое).

Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность: на промежуткахфункция возрастает, но возрастает онас разной скоростью . И первое, что бросается в глаза – на интервалеграфик взмывает вверхгораздо более круто , чем на интервале. Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?

Скорость изменения функции

Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение

(читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента , и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:

1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние , мы поднимаемся по склону на высоту(зелёная линия). Величинаназываетсяприращением функции , и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси– больше

нуля). Составим отношение , которое и будет мерИлом крутизны нашей дороги. Очевидно, что– это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то.

Внимание! ОбозначениеявляютсяЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.

Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть

изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит

метров (зелёная линия) и:. Таким

образом, на каждом метре этого участка дорогивысота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =) Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.

Примечание : числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.

2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение

(малиновая линия) относительно невелико, и отношение по

сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, метров искорость роста функции

составляет . То есть, здесь на каждый метр пути приходитсяв среднем пол метра подъёма.

3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движениесверху вниз (в «противоход» направлению оси), то итоговоеприращение функции (высоты) будет отрицательным :метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт оскорости

убывания функции:, то есть за каждый метр пути

этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.

Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровоммы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством

отношения .

Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы

Начальный уровень

Производная функции. Исчерпывающее руководство (2019)

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает. Если ось направить вдоль дороги горизонтально, а - вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось - это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря.

Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. Также можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат). А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина? Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние. Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим (читается «дельта икс»).

Греческую букву (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение». То есть - это изменение величины, - изменение; тогда что такое? Правильно, изменение величины.

Важно: выражение - это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы! То есть, например, .

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на. Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции, то как мы обозначим подъем? Конечно, . То есть, при продвижении вперед на мы поднимаемся выше на.

Величину посчитать легко: если в начале мы находились на высоте, а после перемещения оказались на высоте, то. Если конечная точка оказалась ниже начальной, будет отрицательной - это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на км дорога поднимается вверх на км. Тогда крутизна в этом месте равна. А если дорога при продвижении на м опустилась на км? Тогда крутизна равна.

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма. Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец - через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности. Просто на расстоянии в км может очень многое поменяться. Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны. Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно - ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить. Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр? Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра - более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству. Поэтому было придумано понятие бесконечно малого , то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать. Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше? А ты подели это число на - и будет еще меньше. И так далее. Если хотим написать, что величина бесконечно мала, пишем так: (читаем «икс стремится к нулю»). Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому - бесконечно большое (). Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать. Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится. Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при, и наоборот: при.

Теперь вернемся к нашей дороге. Идеально посчитанная крутизна - это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало. Но напомню, бесконечно малое - не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число, например, . То есть одна малая величина может быть ровно в раза больше другой.

К чему все это? Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Понятие производной

Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение. То, насколько изменился аргумент () при продвижении вдоль оси, называется приращением аргумента и обозначается То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси на расстояние, называется приращением функции и обозначается.

Итак, производная функции - это отношение к при. Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: или просто. Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна.

А бывает ли производная равна нулю? Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

так как приращение такой функции равно нулю при любом.

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси:

Но большие отрезки - признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой. Но при этом он остался параллелен оси, то есть разность высот на его концах равна нулю (не стремится, а именно равна). Значит, производная

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее - убывает. Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна. Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко). Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть. Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает - в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа - возрастает):

Немного подробнее о приращениях.

Итак, мы меняем аргумент на величину. Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал? Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой. Значение функции в ней равно. Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату на. Чему теперь равен аргумент? Очень легко: . А чему теперь равно значение функции? Куда аргумент, туда и функция: . А что с приращением функции? Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

Потренируйся находить приращения:

1. Найди приращение функции в точке при приращении аргумента, равном.
2. То же самое для функции в точке.

Решения:

В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале - крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:

Степенная функция.

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем - в любой степени: .

Простейший случай - это когда показатель степени:

Найдем ее производную в точке. Вспоминаем определение производной:

Итак, аргумент меняется с до. Каково приращение функции?

Приращение - это. Но функция в любой точке равна своему аргументу. Поэтому:

Производная равна:

Производная от равна:

b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию (): .

А теперь вспомним, что. Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

Итак, у нас родилось очередное правило:

c) Продолжаем логический ряд: .

Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

Итак, у меня получилось следующее:

И снова вспомним, что. Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими:

Получаем: .

d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

(2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на ».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:

1. (двумя способами: по формуле и используя определение производной - посчитав приращение функции);

1. . Не поверишь, но это степенная функция. Если у тебя возникли вопросы типа «Как это? А где же степень?», вспоминай тему « »!
   Да-да, корень - это тоже степень, только дробная: .
   Значит, наш квадратный корень - это всего лишь степень с показателем:
   .
   Производную ищем по недавно выученной формуле:

   Если в этом месте снова стало непонятно, повторяй тему « »!!! (про степень с отрицательным показателем)

2. . Теперь показатель степени:

   А теперь через определение (не забыл еще?):
   ;
   .
   Теперь, как обычно, пренебрегаем слагаемым, содержащим:
   .

3. . Комбинация предыдущих случаев: .

Тригонометрические функции.

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При выражение.

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при функция не существует - точка на графике выколота. Но чем ближе к значению, тем ближе функция к. Это и есть то самое «стремится».

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем: ;

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

и т.д. Видим, что чем меньше, тем ближе значение отношения к.

a) Рассмотрим функцию. Как обычно, найдем ее приращение:

Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему « »): .

Теперь производная:

Сделаем замену: . Тогда при бесконечно малом также бесконечно мало: . Выражение для принимает вид:

А теперь вспоминаем, что при выражение. А также, что если бесконечно малой величиной можно пренебречь в сумме (то есть при).

Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу :

Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти - самые важные, так как используются чаще всего.

Потренируйся:

1. Найди производную функции в точке;
2. Найди производную функции.

Решения:

1. Сперва найдем производную в общем виде, а затем подставим вместо его значение:
   ;
   .
2. Тут у нас что-то похожее на степенную функцию. Попробуем привести ее к
   нормальному виду:
   .
   Отлично, теперь можно использовать формулу:
   .
   .
3. . Ээээээ….. Что это????

Ладно, ты прав, такие производные находить мы еще не умеем. Здесь у нас комбинация нескольких типов функций. Чтобы работать с ними, нужно выучить еще несколько правил:

Экспонента и натуральный логарифм.

Есть в математике такая функция, производная которой при любом равна значению самой функции при этом же. Называется она «экспонента», и является показательной функцией

Основание этой функции - константа - это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой.

Итак, правило:

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число:

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.

Чему равен? Конечно же, .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

1. Найди производную функции.
2. Чему равна производная функции?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование - это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.

Очевидно, это правило работает и для разности: .

Докажем. Пусть, или проще.

Примеры.

Найдите производные функций:

1. в точке;
2. в точке;
3. в точке;
4. в точке.

Решения:

1. (производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);

Производная произведения

Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:

Производная:

Примеры:

1. Найдите производные функций и;
2. Найдите производную функции в точке.

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, где - это какое-то число.

Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:

Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

Ответы:

Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :

Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо будем писать:

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .

Для первого примера, .

Второй пример: (то же самое). .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

1. Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
   А исходная функция является их композицией: .
2. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
3. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
4. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .
5. Внутренняя: ; внешняя: .
   Проверка: .

производим замену переменных и получаем функцию.

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы все просто, да?

Проверим на примерах:

Решения:

1) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

2) Внутренняя: ;

(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

Сразу видно, что здесь трехуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение. .

2. Корень. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Собираем все в кучу:

ПРОИЗВОДНАЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Производная функции - отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента:

Базовые производные:

Правила дифференцирования:

Константа выносится за знак производной:

Производная суммы:

Производная произведения:

Производная частного:

Производная сложной функции:

Алгоритм нахождения производной от сложной функции:

1. Определяем «внутреннюю» функцию, находим ее производную.
2. Определяем «внешнюю» функцию, находим ее производную.
3. Умножаем результаты первого и второго пунктов.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.

На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

1.1 Некоторые задачи физики 3

2. Производная

2.1 Скорость изменения функции 6

2.2 Производная функция 7

2.3 Производная степенной функции 8

2.4 Геометрический смысл производной 10

2.5 Дифференцирование функций

2.5.1 Дифференцирование результатов арифметических действий 12

2.5.2 Дифференцирование сложной и обратной функций 13

2.6 Производные параметрически заданных функций 15

3. Дифференциал

3.1 Дифференциал и его геометрический смысл 18

3.2 Свойства дифференциала 21

4. Заключение

4.1 Приложение 1. 26

4.2 Приложение 2. 29

5. Список использованной литературы 32

1.Введение

1.1Некоторые задачи физики. Рассмотрим простые физические явления: прямолинейное движение и линейное распределение массы. Для изучения их вводят соответственно скорость движения и плотность.

Разберем такое явление, как скорость движения и связанные с ним понятия.

Пусть тело совершает прямолинейное движение и нам известно расстояние , проходимое телом за каждое данное время , т. е. нам известно расстояние как функция времени :

Уравнение
называется уравнением движения, а определяемая им линия в системе осей
- графиком движения.

Рассмотрим движение тела в течение интервала времени
от некоторого момента до момента
. За время тело прошло путь а за время - путь
. Значит, за единиц времени оно прошло путь

Если движение равномерное, то есть линейная функция :

В этом случае , и отношение
показывает, сколько единиц пути приходится на единицу времени ; при этом оно остается постоянным, независящим ни от того, какой момент времени берется, ни от того, какое взято приращение времени . Это постоянное отношение называют скоростью равномерного движения.

Но если движение неравномерное, то отношение зависит

от , и от . Оно называется средней скоростью движения в интервале времени от до и обозначается через :

В течение этого интервала времени при одном и том же пройденном расстоянии движение может происходить самым различным образом; графически это иллюстрируется тем, что между двумя точками на плоскости (точки
на рис. 1) можно провести самые различные линии
- графики движений в данном интервале времени, причем всем этим разнообразным движениям соответствует одна и та же средняя скорость .

В частности, между точками проходит прямолинейный отрезок
, являющийся графиком равномерного в интервале
движения. Значит, средняя скорость показывает, с какой скоростью нужно двигаться равномерно для того, чтобы пройти за этот же интервал времени то же расстояние
.

Оставляя прежним , уменьшим . Средняя скорость, подсчитанная для измененного интервала
, лежащего внутри данного интервала, может быть, разумеется, иной, чем во; всем интервале . Из этого следует, что среднюю скорость нельзя рассматривать как удовлетворительную характеристику движения: она (средняя скорость) зависит от интервала, для которого производится расчет. Исходя из того, что среднюю скорость в интервале следует считать тем лучше характеризующей движение, чем меньше , заставим стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости , то его и принимают в качестве скорости движения в данный момент .

Определение . Скоростью прямолинейного движения в данный момент времени называется предел средней скорости , соответствующей интервалу , при стремлении к нулю:

Пример. Запишем закон свободного падения:

.

Для средней скорости падения в интервале времени имеем

а для скорости в момент

.

Отсюда видно, что скорость свободного падения пропорциональна времени движения (падения).

2.Производная

Скорость изменения функции. Производная функция. Производная степенной функции.

2.1 Скорость изменения функции. Каждое из четырех специальных понятий: скорость движения, плотность, теплоемкость,

скорость химической реакции, несмотря на существенное различие их физического смысла, является с математической точки зрения, как легко заметить, одной и той же характеристикой соответствующей функции. Все они представляют собой частные виды так называемой скорости изменения функции, определяемой, так же как и перечисленные специальные понятия, с помощью понятия предела.

Разберем поэтому в общем виде вопрос о скорости изменения функции
, отвлекаясь от физического смысла переменных
.

Пусть сначала
- линейная функция:

.

Если независимая переменная получает приращение
, то функция получает здесь приращение
. Отношение
остается постоянным, не зависящим ни от того, при каком функция рассматривается, ни от того, какое взято .

Это отношение называется скоростью изменения линейной функции. Но если функция не линейная, то отношение

зависит и от , и от . Это отношение только «в среднем» характеризует функцию при изменении независимой переменкой от данного до
; оно равно скорости такой линейной функции, которая при взятом имеет то же приращение
.

Определение. Отношение называется средней скоростью изменения функции в интервале
.

Ясно что чем меньше рассматриваемый интервал, тем лучше средняя скорость характеризует изменение функции, поэтому мы заставляем стремиться к нулю. Если при этом существует предел средней скорости, то он принимается в качестве меры, скорость изменения функции при данном , и называется скоростью изменения функции.

Определение . Скоростью изменения функции в данной точке называется предел средней скорости изменения функции в интервале при стремлении к нулю:

2.2 Производная функция. Скорость изменения функции

определяется посредством такой последовательности действий:

1) по приращению , придаваемому данному значению , находится соответствующее приращение функции

;

2) составляется отношение ;

3) находится предел этого отношения (если он существует)

при произвольном стремлении к нулю.

Как уже отмечалось, если данная функция не линейная,

то отношение зависит и от , и от . Предел этого отношения зависит только от выбранного значения и является, следовательно, функцией от . Если же функция линейная, то рассматриваемый предел не зависит и от , т. е. будет величиной постоянной.

Указанный предел называется производной функцией от функции или просто производной от функции и обозначается так:
.Читается: «эф штрих от » или «эф прим от ».

Определение . Производной данной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении, этого приращения к нулю:

.

Значение производной функции в какой-либо данной точке обозначается обычно
.

Пользуясь введенным определением производной, можно сказать, что:

1) Скорость прямолинейного движения есть производная от

функции по (производная от пути по времени).

2.3 Производная степенной функции.

Найдем производные от некоторых простейших функций.

Пусть
. Имеем

,

т. е. производная
есть постоянная величина, равная 1. Это очевидно, ибо - линейная функция и скорость ее изменения постоянна.

Если
, то

Пусть
, тогда

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции
при
. Докажем, что и вообще производная от при любом целом положительном показателе равна
.

.

Выражение, стоящее в числителе, преобразуем по формуле бинома Ньютона:

В правой части последнего равенства стоит сумма слагаемых, первое из которых не зависит от , а остальные стремятся к нулю вместе с . Поэтому

.

Итак, степенная функция при целом положительном имеет производную, равную :

.

При
из найденной общей формулы следуют формулы, выведенные выше.

Этот результат верен для любого показателя , например:

.

Рассмотрим теперь отдельно производную от постоянной величины

.

Так как эта функция не изменяется с изменением независимой переменной, то
. Следовательно,

,

т. е. производная постоянной равна нулю.

2.4 Геометрический смысл производной.

Производная от функции имеет очень простой и наглядный геометрический смысл, который тесно связан с понятием касательной к линии.

Определение . Касательной
к линии
в ее точке
(рис. 2). называется предельное положение прямой, проходящей через точку , и другую точку
линии, когда эта точка стремится слиться с данной точкой .

.Учебное пособие

Есть средняя скорость изменения функции в направлении прямой. 1 называется производной функции в направлении и обозначается. Итак, - (1) - скорость изменения функции в точке...

Предел и непрерывность функции

Исследование

Физический смысл производной. Производная характеризует скорость изменения одной физической величины по отношению... . При каком значении аргумента равны скорости изменения функций и Решение. , и, и. Используя физический смысл производной...

Понятие функции одного переменного и способы задания функций

Документ

Понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции ; П. есть функция , определяемая для каждого х... непрерывную производную (дифференциальное исчисление, характеризующее скорость изменения функции в данной точке). Тогда и...

§ 5 Частные производные сложных функций дифференциалы сложных функций 1 Частные производные сложной функции

Документ

Он существует и конечен) будет являться скоростью изменения функции в точке в направлении вектора. Его... и обозначают или. Помимо величины скорости изменения функции , позволяет определить и характер изменения функции в точке в направлении вектора...

Таблица 2

Таблица 1

Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования

Способы задания функций. Виды элементарных функций

Задать функцию - значит задать правило или закон, согласно которому данному значению аргумента х определяется соответствующее значение функции у .

Рассмотрим способы задания функции .

1. Аналитический способ - задание функции с помощью формул. Например, растворение лекарственных веществ из таблеток при приготовлении растворов подчиняется уравнению m = m 0 е – kt , где m 0 и m – соответственно,исходное и оставшееся ко времени растворения t количество лекарственного вещества в таблетке, k – некоторая постоянная положительная величина.

2. Графический способ - это задание функции в виде графика. Например, с помощью электрокардиографа на бумаге или на экране монитора компьютера фиксируется возникающая при работе сердца величина разности биопотенциалов U как функция времени t : U = f(t).

3. Табличный способ - это задание функции с помощью таблицы. Такой способ задания функции используется в экспериментах и наблюдениях. Например, измеряя температуру тела больного через определенные промежутки времени, можно составить таблицу значений температуры тела Т как функции времени t . На основании табличных данных иногда оказывается возможным выразить приближенно формулой соответствие между аргументом и функцией. Такие формулы называют эмпирическими, т.е. полученными из опыта.

В математике различают элементарные и сложные функции. Приведем основные виды элементарных функций:

1. Степенная функция – y = f(x) = x n , где х – аргумент, n – любое действительное число (1, 2, - 2, и т.д.).

2. Показательная функция – y = f(x) = a x , где а - постоянное положительное число, отличное от единицы (а > 0, а ≠ 0 ), например:

y = 10 x (a = 10);

y = e x ; y = e -x (a = e ≈ 2,718…)

Выделим две последние функции, они называются экспоненциальными функциями или экспонентами и описывают множество физических, биофизических, химических и социальных процессов. Причем y = e x – возрастающая экспонента, y = e - x – убывающая экспонента.

3.Логарифмическая функция с любым основанием а : y = log a x , где у - степень, в которую нужно возвести основание функции а, чтобы получить данное число x, т. е. a y = x.

Если основание а = 10 , то y называется десятичным логарифмом числа x и обозначается y = lg x ; если a=e , то y называется натуральным логарифмом числа x и обозначается у =1n х .

Напомним некоторые правила логарифмирования :

Пусть даны два числа а и b , тогда:

· lg (a·b) = lg a + lg b;

· lg = lg a - lg b;

· lg ab = b lg a;

Ничего не изменится при замене символа lg на ln .

Полезно также помнить, что lg 10 = 1, ln е = 1, lg 1 = ln 1 = 0.

4. Тригонометрические функции : y = sin x, y = cos x, y = tg x и др.

Приведем графики некоторых элементарных функций (см. рис. 1):

Переменная величина может изменяться так, что в процессе возрастания или убывания она приближается к некоторой конечной постоянной величине, которая является ее пределом.

По определению пределом переменной величины х называется постоянная величина А, к которой переменная х в процессе своего изменения приближается так, что модуль разности между x и А, т.е. | х - А |, стремится к нулю .

Обозначения предела: x→ А или lim x = A (здесь → - знак предельного перехода, lim от лат. limited, в переводе на русский – предел). Рассмотрим элементарный пример:

x: 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), т.к.

| х - А |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.

Введем понятия приращение аргумента и приращение функции.

Если переменная величина х изменяет свое значение от x 1 до х 2 , то разность x 2 – x 1 = Δx называется приращением аргумента, причем Δx (читается дельта х ) – единый символ приращения. Соответствующее изменение функции y 2 – y 1 = Δy называется приращением функции. Покажем это на графике функции y = f(x) (рис. 2). Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции - приращением ординаты этой точки.

Производной заданной функции y = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (Δх → 0).

Производная функции обозначается (читается «у штрих») или , или dy/dx (читается «дэ y по дэ x »). Таким образом, производная функции y = f(x) равна:

(4)

Правило для отыскания производной функции у = f(х) по аргументу х содержится в определении этой величины: нужно задать приращение аргумента Δх , найти приращение функции Δy , составить отношение и найти предел этого отношения при Δх→ 0 .

Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции. Этим занимается раздел высшей математики называемый «Дифференциальное исчисление».

Таблица производных основных элементарных функций, полученных по указанному выше правилу, приведена ниже.

№ п/п	Виды функции	Производная функции
	Постоянная величина y = c	y" = 0
	Степенная функция y = x n (n может быть положительным, отрицательным, целым, дробным)	y" = nx n-1
	Показательная функция y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = e x y = e -x , у=e -kx (k=const)	y" = a x ln a y" = e x y" = - e -x , y" = -k e -kx
	Логарифмическая функция y = log a x (a > 0; a ≠ 1) y = ln x	y" = y" =
	Тригонометрические функции: y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x	y" = cos x y" = - sin x y" = y" =

Если выражение, производную которого надо найти, представляет собой сумму, разность, произведение или частное нескольких функций, например, u, v, z , то используются нижеприведенные правила дифференцирования (табл. 2).

Приведем несколько примеров вычисления производных, используя таблицы 1 и 2.

1. (x + sin x)" = (x)" + (sin x)" = 1 + cos x;

2. (x · sin x)" = (x)" · sin x + x · (sin x)" = sin x + x cos x;

4. (5 tgx)" = 5 (tg x)" = .

Физический смысл производной состоит в том, что она определяет быстрота (темп) изменения функции.

Рассмотрим пример прямолинейного движения. Скорость тела равна отношению пути ΔS , пройденного телом за время Δt , к этому промежутку времени v = . Если движение неравномерное, то отношение является средней скоростью на этом участке пути, а скорость, соответствующая каждому данному моменту времени, называется мгновенной скоростью движения и определяется как предел отношения при Δ t→0 , т.е.

Обобщая полученный результат, можно утверждать, что производная функции f(x) по времени t является мгновенной скоростью изменения функции. Понятие мгновенной скорости относится не только к механическим движениям, но и к любым процессам, развивающимся во времени. Можно найти скорость сокращения или расслабления мышцы, скорость кристаллизации раствора, скорость отвердевания пломбировочного материала, скорость распространения эпидемического заболевания и др.

Значение мгновенного ускорения во всех этих процессах равно производной функции скорости по времени:

. (5)

В механике - вторая производная пути по времени.

Понятие производной, как величины, характеризующей быстроту изменения функции, применяется для разных зависимостей. Например, надо узнать, как быстро изменяется температура вдоль металлического стержня, если нагревать один из его концов. В данном случае температура - функция координаты x , т.е. T = f(x) и характеризует темп изменения температуры в пространстве.

Производную некоторой функции f(x) по координате x называют градиентом этой функции (часто используется сокращение grad от лат. gradient). Градиенты различных переменных – это векторные величины, всегда направленные в сторону увеличения значения переменных .

Отметим, что градиенты многих величин являются одной из первопричин обменных процессов, происходящих в биологических системах. Это, например, градиент концентрации , градиент электрохимического потенциала (μ – греческая буква «мю»), градиент электрического потенциала .

При малых Δx можно записать:

. (6)

Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное - понять смысл.

Запомним определение:

Производная - это скорость изменения функции.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден - третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , - разная. Что касается Матвея - у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной - то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого - тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание - в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других - убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол ; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка - точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке - точке минимума - производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	-	0	+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи . Другое - на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала - и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется - она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется